《2026年练就优等生课后提分攻略八年级数学全一册人教版》

01 如图 2-22-1，在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$\angle A = 22.5^{\circ}$，斜边 $AB$ 的垂直平分线交 $AC$ 于点 $D$，点 $F$ 在 $AC$ 上，点 $E$ 在 $BC$ 的延长线上，$CE = CF$，连接 $BF$，$DE$。线段 $DE$ 和 $BF$ 在数量和位置上分别有什么关系？请说明理由。

答案：
01解:DE=BF,DE⊥BF.理由如下:
如图，连接BD,延长BF交DE于点G.
　　　　　　　
∵点D在线段AB的垂直平分线上，
∴AD=BD.
∴∠ABD=∠A=22.5°.
∴∠CDB=∠A+∠ABD=45°.
∴△BCD为等腰直角三角形.
∴BC=DC.
在△ECD和△FCB中，
$\begin{cases} CE = CF, \\ ∠DCE = ∠BCF, \\ CD = CB, \end{cases}$
∴△ECD≌△FCB(SAS).
∴DE=BF,∠CED=∠CFB.
∵∠CFB+∠CBF=90°,
∴∠CED+∠CBF=90°.
∴∠EGB=90°,即DE⊥BF.

02 如图 2-22-2，已知在锐角三角形 $ABC$ 中，$AB$，$AC$ 边的垂直平分线交于点 $O$，$\angle A = \alpha(0^{\circ} ＜ \alpha ＜ 90^{\circ})$，试判断 $\angle ABO + \angle ACB$ 是否为定值。若是，求出定值；若不是，请说明理由。

答案：
02解:∠ABO+∠ACB为定值.理由如下:如图,连接AO.
　　　　　　
∵AB,AC边的垂直平分线交于点O，
∴AO=BO=CO.
∴∠OBC=∠OCB,∠OAB=∠OBA,∠OCA=∠OAC.
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$(180°−2∠BAC)=90°−α.
∴∠ABO+∠ACB=180°−∠BAC−∠OBC=180°−α−(90°−α)=90°.

03 【问题】已知：如图 2-22-3，在 $\triangle ABC$ 中，$D$ 为 $BC$ 边上一点，$BD = BA$，$EF$ 垂直平分 $AC$，交 $AC$ 于点 $E$，交 $BC$ 于点 $F$，连接 $AD$，$FA$。当 $\angle B = 30^{\circ}$，$\angle BAF = 90^{\circ}$ 时，求 $\angle DAC$ 的度数。
【探究】若把“问题”中的条件“$\angle B = 30^{\circ}$”去掉，其他条件不变，那么 $\angle DAC$ 的度数会改变吗？请说明理由。
【拓展】若把“问题”中的条件“$\angle B = 30^{\circ}$”去掉，再将“$\angle BAF = 90^{\circ}$”改为“$\angle BAF = \alpha$”，其余条件不变，则 $\angle DAC =$ _。

答案： 03解:【问题】
∵AB=BD,∠B=30°,
∴∠BAD=∠BDA=$\frac{180° - 30°}{2}$=75°.
∵EF垂直平分AC,
∴AF=CF.
∴∠CAF=∠C.
∵∠BAF=90°,
∴∠AFB=90°−30°=60°.
∵∠AFB=∠C+∠CAF,
∴∠C=∠CAF=30°.
∴∠DAC=∠ADB−∠C=75°−30°=45°.
【探究】不变，理由如下:
∵AB=BD,
∴∠BAD=∠BDA=$\frac{180° - ∠B}{2}$=90°−$\frac{1}{2}$∠B.
∵EF垂直平分AC,
∴AF=CF.
∴∠CAF=∠C;
∵∠BAF=90°,
∴∠AFB=90°−∠B.
∵∠AFB=∠C+∠CAF,
∴∠C=∠CAF=$\frac{1}{2}$∠AFB=45°−$\frac{1}{2}$∠B.
∴∠CAD=∠BDA−∠C=90°−$\frac{1}{2}$∠B−(45°−$\frac{1}{2}$∠B)=45°.
【拓展】$\frac{1}{2}$α