《2026年练就优等生课后提分攻略八年级数学全一册人教版》

01 如图 6 - 70 - 1, 在四边形 $ABCD$ 中, $E,F$ 分别是 $AD,BC$ 的中点.
(1) 若 $AB = CD = 6$, $\angle ABD = 20^{\circ}$, $\angle BDC = 140^{\circ}$, 则 $EF$ 的长为3;
(2) 若 $AB = 6$, $CD = 8$, $\angle ABD = 30^{\circ}$, $\angle BDC = 120^{\circ}$, 则 $EF$ 的长为5;
(3) 若 $\angle BDC-\angle ABD = 90^{\circ}$, 求证: $AB^{2}+CD^{2}=4EF^{2}$.

答案：
0解:
(1)3
(2)5
(3)证明:如图，取BD的中点P，连接EP,FP.
　　　　　　
∵E,F分别是AD,BC的中点，
∴PE//AB,且PE=$\frac{1}{2}$AB,PF//CD,且PF=$\frac{1}{2}$CD.
∴∠EPD=∠ABD,∠BPF=∠BDC;
∴∠DPF=180°−∠BPF=180°−∠BDC.
∵∠BDC−∠ABD=90°,
∴∠BDC=90°+∠ABD.
∴∠EPF=∠EPD+∠DPF=∠ABD+180°−∠BDC=∠ABD+180°−(90°+∠ABD)=90°.
∴PE²+PF²=($\frac{1}{2}$AB)²+($\frac{1}{2}$CD)²=EF².
∴AB²+CD²=4EF².

02 如图 6 - 70 - 2, 在 $\triangle ABC$ 中, $\angle C = 90^{\circ}$, $CA = CB$, $E,F$ 分别为 $CA,CB$ 上的点, $CE = CF$, $M,N$ 分别为 $AF,BE$ 的中点, 若 $AE = 1$, 求 $MN$ 的长.

答案：
III2解:取AB的中点D,连接MD,ND,如图.
　　　　　　　　　
∵CA=CB,CE=CF,
∴BF=AE=1.
∵M,N分别为AF,BE的中点，
∴DM为△ABF的中位线，DN为△ABE的中位线.
∴DM=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{1}{2}$,DM//BF,DN=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{1}{2}$,DN//AE.
∵AE⊥BF,
∴DM⊥DN.
∴△DMN为等腰直角三角形.
∴MN=$\sqrt{2}$DM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$.

03 已知: 如图 6 - 70 - 3, 在四边形 $ABCD$ 中, 对角线 $AC,BD$ 相交于点 $O$, 且 $AC = BD$, $E,F$ 分别是 $AB,CD$ 的中点, $E,F$ 分别交 $BD,AC$ 于点 $G,H$. 求证: $OG = OH$.

答案：
03证明:如图,取BC边的中点M,连接EM,FM.
　　　　　　　　　
∵M,F分别是BC,CD的中点，
∴MF//BD,MF=$\frac{1}{2}$BD,ME//AC,ME=$\frac{1}{2}$AC.
∵AC=BD,
∴ME=MF.
∴∠MEF=∠MFE.
∵MF//BD,
∴∠MFE=∠OGH.
同理,∠MEF=∠OHG.
∴∠OGH=∠OHG.
∴OG=OH.