《2026年练就优等生课后提分攻略八年级数学全一册人教版》

01 阅读下列材料:
在因式分解中,把多项式中某些相同的部分看作一个整体,用一个新的字母代替(即换元),不仅可以简化要分解的多项式的结构,而且能使式子的特点更加明显,便于观察如何进行因式分解,这种方法就是换元法.
对于$(x^{2}+5x+2)(x^{2}+5x+3)-12.$
解法一:设$x^{2}+5x=y,$
解法二:设$x^{2}+2=m,5x=n,$
则原式$=(y+2)(y+3)-12$
则原式$=(m+n)(m+n+1)-12$
$=y^{2}+5y-6$
$=(m+n)^{2}+(m+n)-12$
$=(y+6)(y-1)$
$=(m+n+4)(m+n-3)$
$=(x^{2}+5x+6)(x^{2}+5x-1)$
$=(x^{2}+5x+6)(x^{2}+5x-1)$
$=(x+2)(x+3)(x^{2}+5x-1).$
$=(x+2)(x+3)(x^{2}+5x-1).$
请按照上面介绍的方法解决下列问题:
(1)因式分解:$(x^{2}-4x+1)(x^{2}-4x+7)+9;$
(2)因式分解:$(x+y-2xy)(x+y-2)+(xy-1)^{2}.$

答案： 01 解：
(1)设$ x^{2}-4x=y，$
则原式=(y + 1)(y + 7)+9
$=y^{2}+8y + 16$
$=(y + 4)^{2}$
$=(x^{2}-4x + 4)^{2}$
$=(x - 2)^{4}。$
(2)设 x + y=m，xy=n，
则原式$=(m - 2n)(m - 2)+(n - 1)^{2}$
$=(m - n - 1)^{2}$
$=(x + y - xy - 1)^{2}$
$=(1 - y)^{2}(x - 1)^{2}。$

02 求证:多项式$(x+1)(x+2)(x+3)(x+6)+x^{2}$的值一定是非负数.

答案： 02 证明：$(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6)+x^{2}$
$=[(x + 1)(x + 6)][(x + 2)(x + 3)]+x^{2}$
$=(x^{2}+7x + 6)(x^{2}+5x + 6)+x^{2}。$
设$ x^{2}+6=m，$
则原式$=(m + 7x)(m + 5x)+x^{2}$
$=m^{2}+12mx + 35x^{2}+x^{2}$
$=m^{2}+12mx + 36x^{2}$
$=(m + 6x)^{2}\geqslant0，$
即多项式$(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6)+x^{2}$的值一定是非负数。