《2026年练就优等生课后提分攻略八年级数学全一册人教版》

01 阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数 $ a $，$ b $，$ c $ 称为勾股数。世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其中所给出的勾股数组公式为：$\begin{cases} a=\dfrac{1}{2}(m^{2}-n^{2}), \\ b=mn, \\ c=\dfrac{1}{2}(m^{2}+n^{2}), \end{cases}$ 其中 $ m ＞ n ＞ 0 $，$ m $，$ n $ 是互质的奇数。
应用：当 $ n = 1 $ 时，求有一边长为 $ 5 $ 的直角三角形的另外两条边长。

答案： 01 解：当n = 1时，$a = \frac{1}{2}(m^2 - 1)①，$b = m②，$c = \frac{1}{2}(m^2 + 1)③．$
∵直角三角形有一边长为5，
∴当a = 5时，$\frac{1}{2}(m^2 - 1) = 5，$解得$m = \pm\sqrt{11}（$舍去）．
当b = 5时，即m = 5，代入①③，得a = 12，c = 13．
当c = 5时，$\frac{1}{2}(m^2 + 1) = 5，$解得$m = \pm3．$
∵m ＞ 0，
∴m = 3，代入①②，得a = 4，b = 3．
综上所述，有一边长为5的直角三角形的另外两条边长分别为12,13或3,4．

02 我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式，后人借助这种分割方法所得到的图形证明了勾股定理，如图 5 - 60 - 1 所示的矩形就是由两组这样的图形拼成，若该矩形的面积为 $ 16 $，则下列结论一定正确的是（A）

A.$ ab = 8 $
B.$ a + b = 6 $
C.$ b = 2a $
D.$ a^{2} + b^{2} = 16 $

答案： 02 A

03 《九章算术》中的一个古代问题：“今有木长二丈，围之三尺，葛生其下，缠木七周，上与木齐。问葛长几何？”白话译文：如图 5 - 60 - 2，有圆柱形木棍直立于地面，高 $ 20 $ 尺，圆柱底面周长为 $ 3 $ 尺，葛藤生于圆柱底部 $ A $ 点处，等距离缠绕圆柱 $ 7 $ 周，恰好长到圆柱上底面的 $ B $ 点。则葛藤的长度是29尺。

答案： 03 29