《2026年练就优等生课后提分攻略八年级数学全一册人教版》

01 如图2-25-1，O是等边三角形ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，△BOC≌△ADC，∠OCD=60°，连接OD。
(1)求证：△OCD是等边三角形；
(2)当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
(3)探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？

答案： 01解:
(1)证明:
∵△BOC≌△ADC,
∴OC=DC.
∵∠OCD=60°,
∴△OCD是等边三角形.
(2)△AOD是直角三角形.理由如下:
∵△OCD是等边三角形，
∴∠ODC=60°.
∵△BOC≌△ADC,α=150°,
∴∠ADC=∠BOC=α=150°.
∴∠ADO=∠ADC−∠ODC=150°−60°=90°.
∴△AOD是直角三角形.
(3)
∵△OCD是等边三角形，
∴∠COD=∠ODC=60°.
∵∠AOB=110°,∠ADC=∠BOC=α,
∴∠AOD=360°−∠AOB−∠BOC−∠COD=360°−110°−α−60°=190°−α,∠ADO=∠ADC−∠ODC=α−60°.
∴∠OAD=180°−∠AOD−∠ADO=180°−(190°−α)−(α−60°)=50°.
①当∠AOD=∠ADO时,190°−α=α−60°,
∴α=125°;
②当∠AOD=∠OAD时,190°−α=50°,
∴α=140°;
③当∠ADO=∠OAD时,α−60°=50°,
∴α=110°.
综上所述，当α=125°或140°或110°时，△AOD是等腰三角形.

02 如图2-25-2，以△ABC的边AB，AC为边，向外作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接BE，CD相交于点F，连接AF。
(1)求证：DC=BE；
(2)求∠DFE的度数；
(3)求证：FA平分∠DFE；
(4)求证：DF=AF+BF。

答案：
02解:
(1)证明:
∵△ABD和△ACE是等边三角形，
∴AD=AB,AE=AC,∠DAB=∠EAC=60°.
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC,
即∠DAC=∠BAE.
在△DAC与△BAE中,
$\begin{cases}AD=AB,\\∠DAC=∠BAE,\\AC=AE,\end{cases}$
∴△DAC≌△BAE(SAS).
∴DC=BE.
(2)
∵△DAC≌△BAE,
∴∠ADF=∠ABF.
∵∠AGD=∠FGB,
∴∠BFG=∠DAG=60°.
∴∠DFE=180°−60°=120°.
(3)如图,过点A作AP⊥DC于点P,AQ⊥BE于点Q.
∵△DAC≌△BAE,
∴$S_{\triangle DAC}=S_{\triangle BAE},$即$\frac{1}{2}DC·AP=\frac{1}{2}BE·AQ.$
∵DC=BE,
∴AP=AQ.
∵AP⊥DC,AQ⊥BE,
∴FA平分∠DFE.

(4)如图,在DF上截取DM=BF,连接AM.
在△ADM与△ABF中,
$\begin{cases}AD=AB,\\∠ADM=∠ABF,\\DM=BF,\end{cases}$
∴△ADM≌△ABF(SAS).
∴AM=AF,∠DAM=∠BAF.
∵∠DAB=60°,
∴∠DAM+∠MAG=60°,∠BAF+∠MAG=60°.
∴∠MAF=60°.
∴△AMF是等边三角形.
∴MF=AF.
∴DF=MF+DM=AF+BF.