《2026年练就优等生课后提分攻略八年级数学全一册人教版》

【问题拓展】
(3)如图 1-7-3，在△ABC 中，D 是 BC 的中点，DE⊥DF 于点 D，DE 交 AB 于点 E，DF 交 AC 于点 F，连接 EF，判断 BE+CF 与 EF 的大小关系，并证明。

答案：

(3)BE + CF ＞ EF.
证明:延长FD至点M，使DM = DF，连接BM，EM，如图②.

同
(1)得△BMD ≌ △CFD(SAS)，
∴BM = CF.
∵DE ⊥ DF，DM = DF，
∴EM = EF.
在△BME中，由三角形的三边关系，得BE + BM ＞ EM，
∴BE + CF ＞ EF.

(4)如图 1-7-4，在四边形 ABCD 中，AB//CD，E 是 BC 的中点，AF 与 DC 的延长线交于点 F。若 AE 是∠BAF 的平分线，试探究线段 AB，AF，CF 之间的数量关系，并加以证明。

答案：

(4)AF + CF = AB. 证明：如图③，延长AE，DF交于点G.

∵AB // CD，
∴∠BAG = ∠G.
在△ABE和△GCE中，
$\begin{cases}\angle BAE = \angle G, \\\angle AEB = \angle GEC, \\BE = CE,\end{cases}$
∴△ABE ≌ △GCE(AAS).
∴AB = CG.
∵AE 是∠BAF 的平分线，
∴∠BAG = ∠FAG.
∴∠FAG = ∠G.
∴AF = GF.
∵FG + CF = CG，
∴AF + CF = AB.