《2026年练就优等生课后提分攻略八年级数学全一册人教版》

01 如图 6 - 71 - 1，在四边形$ABCD$中，$\angle A=\angle ABC = 90^{\circ}$，$DE\perp BC$，$DB$平分$\angle ADC$.下列结论：①$BC = DC$；②四边形$ABED$是矩形；③$E$是$BC$的中点；④若$AD = 2$，$CD = 5$，则$AB = 4$.其中正确的为（B）

A.①②③
B.①②④
C.②③④
D.①②③④

答案： 01 B

02 如图 6 - 71 - 2①，在$□ ABCD$中，$E$，$F$为$BC$上两点，且$BE = CF$，$AF = DE$.
(1)找出图中一对全等的三角形，并证明.
(2)求证：四边形$ABCD$是矩形.
(3)如图 6 - 71 - 2②，连接$AE$，设$AF$交$DE$于点$O$，将$\triangle ABE$沿$AE$折叠恰好与$\triangle AOE$重合.求证：$AD = AF$.

答案： 02 解：
(1)△ABF≌△DCE.
证明：
∵BE=CF，BF=BE+EF，CE=CF+EF，
∴BF=CE.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC.
在△ABF和△DCE中，$\begin{cases} AB = DC \\ AF = DE \\ BF = CE \end{cases}$
∴△ABF≌△DCE(SSS).
(2)证明：
∵△ABF≌△DCE，
∴∠B=∠C.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD.
∴∠B+∠C=180°.
∴∠B=∠C=90°.
∴四边形ABCD是矩形.
(3)证明：
∵平行四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，AD//CB.
∴∠DAE=∠AEB.
∵△ABE沿AE折叠恰好与△AOE重合，
∴△ABE≌△AOE.
∴∠AEB=∠AED.
∴∠DAE=∠AED.
∴AD=DE.
∵AF=DE，
∴AD=AF.

03 如图 6 - 71 - 3，在四边形$ABCD$中，$AD// BC$，$\angle ABC=\angle ADC = 90^{\circ}$，对角线$AC$，$BD$交于点$O$，$DE$平分$\angle ADC$交$BC$于点$E$，连接$OE$.
(1)求证：四边形$ABCD$是矩形；
(2)若$\angle BDE = 15^{\circ}$，求$\angle EOC$的度数；
(3)在(2)的条件下，若$AB = 2$，求矩形$ABCD$的面积.

答案： 03 解：
(1)证明：
∵AD//BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°.
∵∠ABC=90°，
∴∠BAD=90°.
∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°.
∴四边形ABCD是矩形.
(2)
∵四边形ABCD是矩形，DE平分∠ADC，
∴∠CDE=∠CED=45°.
∴EC=DC.
又
∵∠BDE=15°，
∴∠CDO=60°.
又
∵矩形的对角线互相平分且相等，
∴OD=OC.
∴△OCD是等边三角形.
∴∠DOC=∠OCD=60°，OC=DC.
∴∠OCB=90°-∠OCD=30°，OC=EC.
∴∠COE=(180°-30°)÷2=75°.
(3)在Rt△ABC中，∠ACB=30°，
∴AC=2AB=4.
由勾股定理，得BC=$\sqrt{AC^{2}-AB^{2}}$=$2\sqrt{3}$，
∴$S_{矩形ABCD}$=$2\sqrt{3} × 2$=$4\sqrt{3}$.