《2025年大联考单元期末测试卷九年级数学全一册沪科版》

21. 如图,在平面直角坐标系中,已知四边形 OABC 为矩形,其中点 A(4,0),C(0,3).
(1) 当反比例函数 $y = \frac{k}{x}(x ＞ 0)$ 的图象和矩形 OABC 有交点时, $k$ 的最大值为12.(请直接写出结果)
(2) 如图,反比例函数 $y = \frac{k}{x}(x ＞ 0)$ 的图象与 AB,BC 分别交于点 D,E,连接 DE.
① 当 $k = 6$ 时,求△ODE 的面积;
② 连接 AC,判断 DE 与 AC 是否平行? 并说明理由.

答案：
21.解:
(1)$k$的最大值为12.理由如下:
由反比例函数$y = \frac{k}{x}(x ＞ 0)$，得$k = xy$，
当反比例函数$y = \frac{k}{x}(x ＞ 0)$的图象和矩形$OABC$有交点时，$0 \leq x \leq 4$，$0 \leq y \leq 3$，
$\therefore$当$x = 4$，$y = 3$时，$k$有最大值，最大值为$3 × 4 = 12$.
故答案为12.(3分)
(2)$\because$四边形$OABC$为矩形，其中点$A(4,0)$，$C(0,3)$，
$\therefore$点$B(4,3)$，$\therefore AB = OC = 3$，$BC = AO = 4$.
$\because$反比例函数$y = \frac{k}{x}$的图象与$AB$，$BC$分别交于点$D$，$E$，$\therefore$点$D(4,\frac{k}{4})$，$E(\frac{k}{3},3)$，
①如图1，连接$OD$，$OE$.
$\because k = 6$，
$\therefore$点$D(4,\frac{3}{2})$，$E(2,3)$，

$\therefore AD = \frac{3}{2}$，$CE = 2$，
$BD = 3 - \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$，
$\therefore S_{\triangle ODE} = S_{矩形OABC} - S_{\triangle OCE} - S_{\triangle ODA} - S_{\triangle BED} = 3 × 4 - \frac{1}{2} × 3 × 2 - \frac{1}{2} × 4 × \frac{3}{2} - \frac{1}{2} × 2 × \frac{3}{2} = \frac{9}{2}$.(7分)
②$DE$与$AC$相互平行.理由如下:
如图2，连接$AC$.
设直线$AC$的表达式为$y = mx + n$.
将点$A(4,0)$，$C(0,3)$分别代入，
得$\begin{cases}4m + n = 0, \\n = 3, \end{cases}$解得$\begin{cases}m = - \frac{3}{4}, \\n = 3, \end{cases}$
$\therefore$直线$AC$的表达式为$y = - \frac{3}{4}x + 3$.(9分)
设直线$DE$的表达式为$y = px + q$.
将点$D(4,\frac{k}{4})$，$E(\frac{k}{3},3)$分别代入，
得$\begin{cases}4p + q = \frac{k}{4}, \frac{k}{3}p + q = 3, \end{cases}$解得$\begin{cases}p = - \frac{3}{4}, \\q = \frac{k + 12}{4}, \end{cases}$
$\therefore$直线$DE$的表达式为$y = - \frac{3}{4}x + \frac{k + 12}{4}$.
$\because$直线$AC$的表达式为$y = - \frac{3}{4}x + 3$，
$\therefore$直线$DE$可以由直线$AC$经过平移得到，$\therefore DE // AC$.(12分)