《2025年大联考单元期末测试卷九年级数学全一册沪科版》

21. 请仔细阅读并完成相应的任务.
利用我们所学习的三角函数相关知识可以解决许多关于三角形边长、角度、面积等问题.如图,在锐角三角形$ABC$中,$\angle A$,$\angle B$,$\angle C$的对边分别是$a$,$b$,$c$,过点$B$作$BH \perp AC$于点$H$,则$\cos A = \frac{AH}{BA} = \frac{AH}{c}$,即$AH = c · \cos A$,于是$CH = b - c · \cos A$.在$Rt\triangle ABH$中,$BH^{2} = AB^{2} - AH^{2}$.在$Rt\triangle BHC$中,$BH^{2} = BC^{2} - CH^{2}$,$\therefore c^{2} - c^{2}\cos^{2}A = a^{2} - (b - c · \cos A)^{2}$,整理,得$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc · \cos A$.
任务:
(1)$b^{2} =$$a^2+c^2-2ac· \cos B$.
(2)已知$\triangle ABC$中,$\angle A$,$\angle B$,$\angle C$所对边分别是$a$,$b$,$c$,$a = \sqrt{5}$,$b = 2$,$\cos C = \frac{\sqrt{5}}{5}$,求$c$的值.
(3)已知$\triangle ABC$中,$\angle A$,$\angle B$,$\angle C$所对边分别是$a$,$b$,$c$,$a = \sqrt{6}$,$b = 1 + \sqrt{3}$,$c = 2$,求$\angle C$的度数.

答案： 21.解:
(1)同法可得$b^2=a^2+c^2-2ac· \cos B$.
故答案为$a^2+c^2-2ac· \cos B$.(3分)
(2)由题意,得$c^2=a^2+b^2-2ab· \cos C=5+4-4\sqrt{5}×\frac{\sqrt{5}}{5}=5$.
$\because c＞0,\therefore c=\sqrt{5}$.(7分)
(3)$\because c^2=a^2+b^2-2ab· \cos C$,
$\therefore 4=6+(1+\sqrt{3})^2-2×\sqrt{6}×(1+\sqrt{3})\cos C$,
$\therefore \cos C=\frac{\sqrt{2}}{2},\therefore \angle C=45°$.(12分)