《2025年大联考单元期末测试卷九年级数学全一册沪科版》

19. 如图,在矩形$ABCD$中,点$E$,$F$分别是$AB$,$AD$的中点,连接$EF$,$CE$,$CF$,若$EC\perp EF$.
(1) 求证:$\triangle AEF\sim\triangle BCE$.
(2) 若$AB = 2$,求$BC$的长.

答案： 19.解:
(1)证明:$\because$四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore \angle A = \angle B = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle AEF + \angle AFE = 90^{\circ}$。(2分)
$\because EC \perp EF$，即$\angle CEF = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle AEF + \angle BEC = 90^{\circ}$，$\therefore \angle AFE = \angle BEC$，
$\therefore \triangle AEF \sim \triangle BCE$。(4分)
(2)$\because$四边形$ABCD$是矩形，$AB = 2$，点$E$，$F$分别是$AB$，$AD$的中点，
$\therefore AE = BE = \frac{1}{2}AB = 1$，$AF = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}BC$。(7分)
$\because \triangle AEF \sim \triangle BCE$，
$\therefore \frac{AF}{BE}=\frac{AE}{BC}$，即$\frac{\frac{1}{2}BC}{1}=\frac{1}{BC}$，
$\therefore BC = \sqrt{2}$。(10分)

20. 【核心素养·模型观念】综合与实践
【主题】制作“E”形视力表.根据标准对数视力表(测试距离为 $5$ m),制作变更测试距离的视力表.
【结论】如图 1 所示,利用“E”的高度$b$与“E”到眼睛的水平距离$l$之比$\left(\frac{b}{l}\right)$来刻画视力.对于大小不同的“E”,只要它们这一比值$\left(\frac{b}{l}\right)$相同,那么用它们测得的视力就相同.
【应用】
(1) 如图 2,水平桌面上依次放着大小不一的两个“E”字,编号为①②.将②号“E”沿水平桌面向右移动,直至从观测点$O$看去,对应顶点$A$,$C$,$O$在同一直线上为止.其中$AB$是①号“E”的高度,$CD$是②号“E”的高度,请用所学知识证明:此时①号“E”与②号“E”测试的视力相同.
(2) 小明想制作一张测试距离为 $3$ m 的“E”形视力表.以图 2 所示,①号“E”是标准对数视力表中视力为 $4.2$ 的“E”字,高度$AB$为 $45$ mm,求小明在制作视力为 $4.2$ 的②号“E”字时,②号“E”的高度$CD$应为多少? (点$A$,$C$,$O$在同一直线上,点$B$,$D$,$O$在同一直线上)

答案： 20.解:
(1)证明:由题可得$AB // CD$，
$\therefore \angle ABO = \angle CDO$，$\angle BAO = \angle DCO$，
$\therefore \triangle ABO \sim \triangle CDO$，(3分)
$\therefore \frac{CD}{AB}=\frac{OD}{OB}$，
$\therefore \frac{CD}{OD}=\frac{AB}{OB}=\frac{b}{l}$。
即①号“E”字与②号“E”字测试的视力相同。(5分)
(2)由
(1)，得$\frac{CD}{OD}=\frac{AB}{OB}$。
$\because AB = 45\ mm = 0.45\ m$，$OB = 5\ m$，$OD = 3\ m$，$\therefore \frac{CD}{3}=\frac{0.45}{5}$，
$\therefore CD = 0.27$。
答:②号“E”的高度$CD$应为$0.27\ m$。(10分)