《2025年大联考单元期末测试卷九年级数学全一册沪科版》

22. (2024·淮安)二次函数$y = ax^2 + bx + c$的图象经过点$A(0,8)$,顶点为$P$.
(1) $c =$8.
(2) 当$a = \frac{1}{4}$时,
① 若顶点$P$到$x$轴的距离为10,求$b$的值;
② 直线$m$过点$(0,2b)$且垂直于$y$轴,顶点$P$到直线$m$的距离为$h$.随着$b$的增大,$h$的值如何变化? 请描述变化过程,并说明理由.

答案：
22.解：
(1)将点A坐标代入$y = ax^2 + bx + c$，得$c = 8$.
故答案为8.(3分)
(2)①当$a = \frac{1}{4}$时，二次函数的表达式为$y = \frac{1}{4}x^2 + bx + 8$，顶点P的纵坐标为$\frac{c - b^2}{4a}= 8 - b^2$.
由题意，得$\vert8 - b^2\vert = 10$，
解得$b = \pm3\sqrt{2}$，故$b = \pm3\sqrt{2}$.(7分)
②顶点P的纵坐标为$\frac{c - b^2}{4a}= 8 - b^2$，
由题意，得$h = \vert8 - b^2 + 2b\vert=\vert b^2 + 2b - 8\vert$.
令$h = 0$，则$b = 2$或$- 4$.(9分)
h关于b的函数图象大致如下：

从图象看，当$b ＞ 2$或$- 4 ＜ b ＜ - 1$时，h随b的增大而增大；当$b ＜ - 4$或$- 1 ＜ b ＜ 2$时，h随b的增大而减小.(12分)