《2025年大联考单元期末测试卷九年级数学全一册沪科版》

21. 【核心素养·模型观念】如图 1 是一座拱桥，拱桥的轮廓是抛物线形，拱高 $ 6 \mathrm { m } $，跨度 $ 20 \mathrm { m } $，相邻两支柱间的距离均为 $ 5 \mathrm { m } $，将抛物线放在所给的平面直角坐标系中（如图 2 所示），拱桥的拱顶在 $ y $ 轴上。
（1）求拱桥所在抛物线对应的函数表达式。
（2）求支柱 $ M N $ 的长度。
（3）拱桥下地面是双向行车道（正中间是一条宽 $ 2 \mathrm { m } $ 的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽 $ 2 \mathrm { m } $、高 $ 2.4 \mathrm { m } $ 的三辆汽车（隔离带与内侧汽车的间隔、汽车间的间隔、外侧汽车与拱桥的间隔均为 $ 0.5 \mathrm { m } $）？请说说你的理由。

答案：
21.解：
(1)根据题意，点$A$，$B$，$C$的坐标分别是$( - 10,0)$，$(10,0)$，$(0,6)$.(1分)
将点$B$，$C$的坐标代入$y = ax^{2} + c$，
得$\begin{cases} 6 = c \\ 0 = 100a + c \end{cases}$，(4分)解得$a = - \frac{3}{50}$，$c = 6$，
∴拱桥所在抛物线对应的函数表达式为$y = - \frac{3}{50}x^{2} + 6$.(5分)
(2)设点$N(5,y_{N})$，
∴$y_{N} = - \frac{3}{50} × 5^{2} + 6 = 4.5$，(7分)
∴支柱$MN$的长度是$10 - 4.5 = 5.5(m)$.(8分)
(3)设$DE$是隔离带的宽，$EG$是三辆车最内侧与最外侧的宽度和，
则点$G$坐标是$(9,0)$.(9分)
过点$G$作$GH \perp AB$交抛物线于点$H$，

则$y_{H} = - \frac{3}{50} × 9^{2} + 6 = 1.14 ＜ 2.4$。
根据抛物线的特点，可知一条行车道不能并排行驶这样的三辆汽车.(12分)