《2025年大联考单元期末测试卷九年级数学全一册沪科版》

23. 如图,点 $ C $ 在以 $ AB $ 为直径的 $ \odot O $ 上, $ BD $ 平分 $ \angle ABC $ 交 $ \odot O $ 于点 $ D $,过点 $ D $ 作 $ DE \perp BC $ 交 $ BC $ 的延长线于点 $ E $.
(1) 求证: $ DE $ 与 $ \odot O $ 相切.
(2) 若 $ AB = 5 $, $ BE = 4 $,求 $ BD $ 的长.
(3) 请用线段 $ AB,BE $ 表示 $ CE $ 的长,并说明理由.

答案：
23.解:
(1)证明:如图,连接OD.
∵OD=OB,
∴∠ODB=∠OBD.(1分)
∵BD平分∠ABC,
　　　　　　　　　　　　　
∴∠OBD=∠CBD,(2分)
∴∠ODB=∠CBD,
∴OD//BE.(3分)
∵BE⊥DE,
∴OD⊥DE,
∴DE与⊙O相切.(4分)
(2)
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°.(5分)
∵BE⊥DE,
∴∠ADB=∠BED=90°.(6分)
∵BD平分∠ABC,
∴∠OBD=∠CBD,
∴△ABD∽△DBE,(7分)
∴$\frac{AB}{DB}$=$\frac{BD}{BE}$,
∴$\frac{5}{BD}$=$\frac{BD}{4}$,
　解得BD=2√5.(8分)
(3)CE=AB−BE..理由如下:
　如图,过点D作DH⊥AB于点H.(9分)
∵BD平分∠ABC,DE⊥BE,
∴DH=DE.(10分)
　在Rt△BED和Rt△BHD中,
∵$\begin{cases} DE = DH, \\BD = BD, \end{cases}$
∴Rt△BED≌Rt△BHD(HL),
∴BE=BH.(11分)
　易证∠DCE=∠A,∠DHA=∠DEC=90°,
∴△ADH≌△CDE(AAS),(12分)
∴AH=CE.
∵AB=AH+BH,
∴AB=BE+CE,
∴CE=AB−BE.(14分)