《2025年大联考单元期末测试卷九年级数学全一册沪科版》

17. 小明同学用两块含 $30^{\circ}$ 的直角三角尺按如图所示放置,$\angle ACB = \angle AED = 90^{\circ}$,$\angle ABC = \angle ADE = 30^{\circ}$,点 $C$ 是 $DE$ 的中点.求证:
(1) $AD\perp BD$.
(2) $BD = DE$.

答案： 17.证明：
(1)
∵∠ACB=∠AED=90°，
∠ABC=∠ADE=30°，
∴△ACB∽△AED，
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$.(2分)
∵∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△ABD∽△ACE，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
∴AD⊥BD.(5分)
(2)由
(1)，得△ABD∽△ACE，
∴$\frac{BD}{CE}=\frac{AB}{AC}=2$，
∴BD=2CE.
又
∵点C是DE的中点，
∴DE=2CE，
∴BD=DE.(10分)

18. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,点 $D$,$E$,$F$ 分别在边 $AB$,$BC$,$AC$ 上,$DE// AC$,$EF// AB$.
(1) 求证:$\triangle BDE\backsim\triangle EFC$.
(2) 设 $\frac{AF}{FC} = \frac{1}{2}$.
① 若 $BC = 12$,求线段 $BE$ 的长;
② 若 $\triangle EFC$ 的面积是 $20$,求 $\triangle ABC$ 的面积.

答案： 18.解：
(1)证明：
∵DE//AC，
∴∠DEB=∠FCE.
∵EF//AB，
∴∠DBE=∠FEC，
∴△BDE∽△EFC.(4分)
(2)①
∵EF//AB，
∴$\frac{BE}{EC}=\frac{AF}{FC}=\frac{1}{2}$
∵EC=BC - BE=12 - BE，
∴$\frac{BE}{12 - BE}=\frac{1}{2}$，
解得BE=4.(7分)
②
∵$\frac{AF}{FC}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{FC}{AC}=\frac{2}{3}$
∵EF//AB，
∴△EFC∽△BAC，
∴$\frac{S_{△EFC}}{S_{△ABC}}=(\frac{FC}{AC})^2=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$，
∴$S_{△ABC}=\frac{9}{4}S_{△EFC}=\frac{9}{4}×20 = 45$.(10分)