《2025年大联考单元期末测试卷九年级数学全一册沪科版》

14. 如图,在△ABC 中,∠C = 90°,∠B = 30°,点 O 为 AB 上一点,设 AO = k,⊙O 的半径为 1.当⊙O 与 AC 相离时,求 k 的取值范围.

答案：
14.解:如图,过点 O 作$OD\perp AC$于点 D.(2 分)

$\because \angle C = 90^{\circ}$,$\angle B = 30^{\circ}$,$AO = k$,
$\therefore OD=\frac{\sqrt{3}}{2}k$.(4 分)
当 OD 大于 r 时,即$\frac{\sqrt{3}}{2}k＞1$,解得$k＞\frac{2\sqrt{3}}{3}$,此时$\odot O$与 AC 相离.(6 分)

15. 如图,在△ABC 中,AB = AC,⊙O 是△ABC 的内切圆,连接 AO 交⊙O 于点 D,延长 AO 交 BC 于点 E,则 E 为 BC 与⊙O 的切点.
当$\frac{AD}{AE}=\frac{1}{2}$时,cos B = $\frac{1}{3}$;
当$\frac{AD}{AE}=\frac{1}{3}$时,cos B = $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$;
当$\frac{AD}{AE}=\frac{1}{4}$时,cos B = $\frac{3}{5}$;
……
(1)根据题中规律可得,当$\frac{AD}{AE}=\frac{1}{5}$时,cos B =$\frac{2}{3}$.
(2)猜想:当$\frac{AD}{AE}=\frac{1}{n}$(n 是大于 1 的自然数)时,请用含 n 的代数式表示 cos B,并给出证明过程.

答案：
15.解:
(1)根据前面所给的$\angle B$的余弦值的规律,当$\frac{AD}{AE}=\frac{1}{n}$时,$\cos B$的值是一个分数,分子为$n - 1$,分母为$n + 1$,$\therefore$当$\frac{AD}{AE}=\frac{1}{5}$时,$\cos B=\frac{5 - 1}{5 + 1}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$.(2 分)
(2)$\cos B=\frac{n - 1}{n + 1}$.
证明:$\because \odot O$是$\triangle ABC$的内切圆,
$\therefore \angle EAB=\angle EAC$.
$\because AB = AC$,$\therefore AE\perp BC$.
设$\odot O$与 AB,BC 分别相切于点 F,H,则$OF\perp AB$,$OH\perp BC$,

$\therefore$点 E 与点 H 重合,即点 E 为 BC 与$\odot O$的切点.(4 分)
设$AD = m(m＞0)$.
$\because \frac{AD}{AE}=\frac{1}{n}$,$\therefore AE = nm$,$\therefore DE = nm - m$,
$\therefore OF = OD=\frac{1}{2}DE=\frac{nm - m}{2}$,
$\therefore OA = AD + OD = m+\frac{nm - m}{2}=\frac{nm + m}{2}$,
$\therefore \frac{OF}{OA}=\frac{\frac{nm - m}{2}}{\frac{nm + m}{2}}=\frac{n - 1}{n + 1}$.
$\because \angle AFO=\angle AEB = 90^{\circ}$,
$\therefore \angle AOF=\angle B = 90^{\circ}-\angle BAE$,
$\therefore \cos B=\cos\angle AOF=\frac{OF}{OA}$,$\therefore \cos B=\frac{n - 1}{n + 1}$.(8 分)

16. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ABC = 90°,以 AB 为直径作⊙O,点 D 为⊙O 上一点,且 CD = CB,连接 DO 并延长交 CB 的延长线于点 E.
(1)判断直线 CD 与⊙O 的位置关系,并说明理由.
(2)若 BE = 8,DE = 16,求⊙O 的半径.

答案：
16.解:
(1)相切.理由如下:
如图,连接 OC.

在$\triangle OCB$和$\triangle OCD$中,$\begin{cases}CB = CD, \\CO = CO, \\OB = OD, \end{cases}$
$\therefore \triangle OCB\cong\triangle OCD(SSS)$,(3 分)
$\therefore \angle ODC=\angle OBC = 90^{\circ}$,(4 分)
$\therefore OD\perp DC$,$\therefore DC$与$\odot O$相切.(5 分)
(2)设$\odot O$的半径为 r.
在$Rt\triangle OBE$中,$\because OE^{2}=EB^{2}+OB^{2}$,(6 分)
$\therefore (16 - r)^{2}=r^{2}+8^{2}$,$\therefore r = 6$,
$\therefore \odot O$的半径为 6.(8 分)