《2025年大联考单元期末测试卷九年级数学全一册沪科版》

22. 如图 1,水平地面 BD 上有两根等长的立柱 AB,CD,之间悬挂一根近似于抛物线 $y = \frac{1}{10}x^2 - x + 3$ 的电缆.
(1) 写出立柱 AB 的高度,并求电缆最低点到地面的距离.
(2) 如图 2,为保障用电安全,需要设置一根立柱 MN 撑起电缆.
① 若在离 AB 的 4 m 处设置立柱 MN,使立柱左侧的抛物线(点 A,M 之间的部分)的最低点离立柱 MN 的距离为 1 m,离地面 BD 的距离为 1.8 m,求立柱 MN 的长;
② 将立柱 MN 左右来回移动,移动过程中,在一定范围内,总保持立柱 MN 左侧抛物线的形状不变,其函数表达式为 $y = \frac{1}{2}x^2 + bx + 3$,立柱 MN 在抛物线对称轴右侧.当抛物线最低点到地面 BD 的距离为 0.5 m 时,请直接写出 $b$ 的值.

答案： 22.解:
(1)立柱$AB$的高度为$3m$.
$\because y = \frac{1}{10}x^{2} - x + 3 = \frac{1}{10}(x - 5)^{2} + \frac{1}{2}$，
$\therefore$抛物线的顶点坐标为$(5,\frac{1}{2})$，
$\therefore$电缆最低点到地面的距离为$\frac{1}{2}m$.(4分)
(2)①由题意，立柱$MN$左侧的抛物线的顶点坐标为$(3,1.8)$，
$\therefore$设该段抛物线对应的函数表达式为$y = a(x - 3)^{2} + 1.8$.
$\because$该段抛物线经过点$A(0,3)$，
$\therefore 3 = a(0 - 3)^{2} + 1.8$.
解得$a = \frac{2}{15}$，
$\therefore$该段抛物线对应的函数表达式为$y = \frac{2}{15}(x - 3)^{2} + 1.8$.
当$x = 4$时，$y = \frac{2}{15}(4 - 3)^{2} + 1.8 = \frac{29}{15}$，
$\therefore$立柱$MN$的长为$\frac{29}{15}m$.(8分)
②$\because$抛物线$y = \frac{1}{2}x^{2} + bx + 3$的对称轴为直线$x = -b$，
$\therefore$把$(-b,0.5)$代入$y = \frac{1}{2}x^{2} + bx + 3$中，
得$\frac{1}{2}b^{2} - b^{2} + 3 = 0.5$，解得$b = - \sqrt{5}$.(12分)