《2025年大联考单元期末测试卷九年级数学全一册沪科版》

17. 如图, $ \triangle ABC $ 内接于 $ \odot O $,高 $ AD $ 经过圆心 $ O $.
(1) 求证: $ AB = AC $.
(2) 若 $ BC = 8 $, $ \odot O $ 的半径为 5,求 $ \triangle ABC $ 的面积.

答案：
17.解:
(1)证明:在⊙O中，
∵OD⊥BC..
∴BD=CD,
∴AD垂直平分BC，
∴AB=AC.(3分)
(2)如图,连接OB.
∵BC=8,BD=CD,
∴BD=$\frac{1}{2}$BC=4.(4分)
　　　　　　　　　　　　
∵OA=OB=5,
∴OD=√OB²−BD²=3,
∴AD=AO+OD=8,(6分)
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$BC·AD=32.(8分)

18. 如图, $ \triangle ABC $ 是 $ \odot O $ 的一个内接三角形,点 $ C $ 是劣弧 $ AB $ 上一点(点 $ C $ 不与点 $ A,B $ 重合),设 $ \angle OAB = \alpha $, $ \angle C = \beta $.
(1) 当 $ \alpha = 31° $ 时,求 $ \beta $ 的度数.
(2) 猜想 $ \alpha $ 与 $ \beta $ 之间的关系,并给予证明.

答案：
18.解:
(1)如图,在优弧AB上
　取一点D,连接DA,DB.
∵α=31°,
　　　　　　　　　　　　
∴∠AOB=180°−∠OAB−
　∠OBA=180°−2×31°=118°,
∴∠D=$\frac{1}{2}$∠AOB=59°,
∴∠ACB=180°−∠D=121°,
　即β的度数为121°.(4分)
(2)∠ACB=90°+α.理由如下:
∵∠AOB=180°−2α,
∴∠D=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$(180°−2α)=90°−α,
∴∠ACB=180°−∠D=180°−(90°−α)=90°+α.(8分)