《2025年大联考单元期末测试卷九年级数学全一册沪科版》

22. 【跨学科·物理】如图,光从空气斜射入水中,人射光线$AB$射到水池的水面点$B$后折射光线$BD$射到池底点$D$处,人射角$\angle ABM = 30^{\circ}$,折射角$\angle DBN = 22^{\circ}$;人射光线$AC$射到水池的水面点$C$后折射光线$CE$射到池底点$E$处,人射角$\angle ACM' = 60^{\circ}$,折射角$\angle ECN' = 40.5^{\circ}$.$DE // BC$,$MN$,$M'N'$为法线.人射光线$AB$,$AC$和折射光线$BD$,$CE$及法线$MN$,$M'N'$都在同一平面内,点$A$到直线$BC$的距离为6m.
(1)求$BC$的长(结果保留根号).
(2)若$DE = 8.72$m,求水池的深.(结果精确到1m,参考数据:$\sqrt{2} \approx 1.41$,$\sqrt{3} \approx 1.73$,$\sin 22^{\circ} \approx 0.37$,$\cos 22^{\circ} \approx 0.93$,$\tan 22^{\circ} \approx 0.4$,$\sin 40.5^{\circ} \approx 0.65$,$\cos 40.5^{\circ} \approx 0.76$,$\tan 40.5^{\circ} \approx 0.85$)

答案：
22.解:
(1)过点A作AF⊥BC,与CB的延长线交于点F,(1分)

则$AF// MN// M'N'$,
$\therefore \angle ABM=\angle BAF,\angle ACM'=\angle CAF$.(2分)
$\because \angle ABM=30°,\angle ACM'=60°$,
$\therefore \angle BAF=30°,\angle CAF=60°$.
$\because AF=6$ m,
$\therefore BF=AF· \tan 30°=6×\frac{\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$ m,(4分)
$CF=AF· \tan 60°=6×\sqrt{3}=6\sqrt{3}$ m,(5分)
$\therefore BC=CF-BF=6\sqrt{3}-2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$ m,
即BC的长为$4\sqrt{3}$ m.(6分)
(2)设水池的深为x m,则$BN=CN'=x$ m.
由题意,知$\angle DBN=22°,\angle ECN'=40.5°,DE=8.72$ m,
$\therefore DN=BN· \tan 22°\approx0.4x$ m,
$N'E=CN'· \tan 40.5°\approx0.85x$ m.(9分)
$\because DN+DE=BC+N'E$,
$\therefore 0.4x+8.72=4\sqrt{3}+0.85x$,解得$x\approx4$,即水池的深约为4 m.(12分)