《2025年大联考单元期末测试卷九年级数学全一册沪科版》

17. (2024·南京) 如图,港口 $ B $ 位于港口 $ A $ 的北偏西 $ 37° $ 方向,港口 $ C $ 位于港口 $ A $ 的北偏东 $ 21° $ 方向,港口 $ C $ 位于港口 $ B $ 的北偏东 $ 76° $ 方向. 一艘海轮从港口 $ A $ 出发,沿正北方向航行. 已知港口 $ B $ 到航线的距离为 $ 12 km $,求港口 $ C $ 到航线的距离. (参考数据: $ \tan 21° \approx \frac{8}{21} $, $ \tan 37° \approx \frac{3}{4} $, $ \tan 76° \approx 4 $)

答案：
17.解：如图，设BC交射线于点D，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD于点F，

则∠BDE=∠CDF=76°，BE=12km.
由题意，知∠BAE=37°，∠CAF=21°.
∵tan∠BDE=$\frac{BE}{DE}$，
∴DE=$\frac{BE}{\tan76^{\circ}}$≈$\frac{12}{4}$=3(km).
∵tan∠BAE=$\frac{BE}{AE}$，
∴AE=$\frac{BE}{\tan37^{\circ}}$≈$\frac{12}{3}$=4=16(km).(4分)
设CF=xkm.
∵tan∠CDF=$\frac{CF}{DF}$=tan76°≈4，
∴DF=$\frac{1}{4}$CF=$\frac{1}{4}$xkm，
∴AF=AE + DE + DF=16 + 3 + $\frac{1}{4}$x=(19 + $\frac{1}{4}$x)km.(7分)
∵tan∠CAF=$\frac{CF}{AF}$=tan21°≈$\frac{8}{21}$，
∴CF≈$\frac{8}{21}$AF，即x≈$\frac{8}{21}$(19 + $\frac{1}{4}$x)，解得x≈8.
答：港口C到航线的距离约为8km.(10分)

18. 【综合与实践】小伟站在一个深为 $ 3 m $ 的泳池边,他看到泳池内有一块鹅卵石,据此他提出问题: 鹅卵石的像到水面的距离是多少米? 小伟利用光学知识和仪器测量数据解决问题,具体研究方案如下:

请你根据上述信息,回答下列问题:
(1) 求 $ \angle CBN $ 的度数.
(2) 求鹅卵石的像 $ G $ 到水面的距离 $ GH $. (结果精确到 $ 0.1 m $,参考数据: $ \sin 41.7° \approx 0.665 $, $ \cos 41.7° \approx 0.747 $, $ \tan 41.7° \approx 0.891 $, $ \sqrt{3} \approx 1.73 $)

答案： 18.解：
(1)
∵∠ABM=41.7°，
∴sin∠ABM=sin41.7°≈0.665.(1分)
又$\frac{\sin\angle ABM}{\sin\angle CBN}$=1.33，
∴sin∠CBN=$\frac{\sin\angle ABM}{1.33}$=$\frac{0.665}{1.33}$=0.5.(2分)
又sin30°=$\frac{1}{2}$，
∴∠CBN=30°.(4分)
(2)
∵MN⊥BH，CH⊥BH，
∴MN//CH，
∴∠BCH=∠NBC=30°.
∵BN=CH，BN=3m，
∴CH=3m.(5分)
在Rt△BCH中，BH=CH·tan∠BCH=3×tan30°=√3(m).(7分)
∵∠ABM=∠NBG=∠BGH，
∴在Rt△GBH中，
HG=$\frac{BH}{\tan\angle BGH}$≈$\frac{\sqrt{3}}{0.891}$≈1.9(m)，
∴鹅卵石的像到水面的距离约为1.9m.(10分)