《2025年大联考单元期末测试卷九年级数学全一册沪科版》

15. 分别求出符合下列条件的二次函数的表达式.
(1) 已知图象经过点$(3,0)$,$(2,-3)$,并以直线$x = 0$为对称轴.
(2) 教材变式·人教九上 P42T10 二次函数图象的顶点是$(2,4)$,且二次函数图象与$x$轴的一个交点为$(-1,0)$.

答案： 15.解：
(1)根据题意，设二次函数的表达式为$y = ax^{2} + c$.
把$(3,0)$与$(2, - 3)$代入，得$\begin{cases}9a + c = 0,\\4a + c = - 3,\end{cases}$
解得$a = \frac{3}{5}$，$c = - \frac{27}{5}$，
$\therefore$二次函数的表达式为$y = \frac{3}{5}x^{2} - \frac{27}{5}$(4分)
(2)设二次函数的表达式为$y = a(x - 2)^{2} + 4$.
将点$(-1,0)$代入，得$a(-1 - 2)^{2} + 4 = 0$，
解得$a = - \frac{4}{9}$，$\therefore$二次函数的表达式为$y = - \frac{4}{9}(x - 2)^{2} + 4$(8分)

16. 已知二次函数$y = ax^{2} - bx - 3$的图象经过点$(-1,0)$和$(3,0)$.
(1) 求$a$,$b$的值.
(2) 当$-3 \leq x \leq 2$时,求$y$的取值范围.

答案： 16.解：
(1)将$(-1,0)$，$(3,0)$代入$y = ax^{2} - bx - 3$，
得$\begin{cases}a + b - 3 = 0,\\9a - 3b - 3 = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = 1,\\b = 2.\end{cases}$(4分)
(2)$\because y = x^{2} - 2x - 3 = (x - 1)^{2} - 4$，
$\therefore$当$x = 1$时，$y$最小值$= - 4$(5分)
由于当$x ＜ 1$时，$y$随$x$的增大而减小，当$x ＞ 1$时，$y$随$x$的增大而增大，
并且$1 - (-3) ＞ 2 - 1$，
$\therefore$当$x = - 3$时，$y$最大值$= 12$，(7分)
$\therefore$当$-3 \leq x \leq 2$时，$y$的取值范围是$-4 \leq y \leq 12$(8分)