《2025年大联考单元期末测试卷九年级数学全一册沪科版》

18. 已知点 $ A ( - 2, n ) $ 在抛物线 $ y = x ^ { 2 } + b x + c $ 上。
（1）若 $ b = 1 $，$ c = 3 $，求 $ n $ 的值。
（2）若此抛物线经过点 $ B ( 4, n ) $，且抛物线 $ y = x ^ { 2 } + b x + c $ 的最小值是 - 4，求 $ b - c $ 的值。

答案： 18.解：
(1)
∵$b = 1$，$c = 3$，点$A( - 2,n)$在抛物线$y = x^{2} + bx + c$上，
∴$n = 4 + ( - 2) × 1 + 3 = 5$.(3分)
(2)
∵此抛物线经过点$A( - 2,n)$，$B(4,n)$，
∴抛物线的对称轴为直线$x = \frac{- 2 + 4}{2} = 1$.(5分)
∵抛物线$y = x^{2} + bx + c$的最小值是$- 4$，
∴抛物线对应的函数表达式为$y = (x - 1)^{2} - 4 = x^{2} - 2x - 3$，(7分)
∴$b = - 2$，$c = - 3$，
∴$b - c = 1$.(8分)

19. 如图，点 $ F $ 为 $ □ A B C D $ 的边 $ A D $ 延长线上一点，$ B F $ 分别交 $ C D $，$ A C $ 于点 $ G $，$ E $。
（1）求证：$ \frac { E F } { E B } = \frac { A E } { C E } $。
（2）若 $ E F = 12 $，$ G E = 4 $，求 $ E B $ 的长。

答案： 19.解：
(1)证明：
∵四边形$ABCD$为平行四边形，
∴$AF// BC$，
∴$\triangle AEF \backsim \triangle CEB$，
∴$\frac{EF}{EB} = \frac{AE}{CE}$.(4分)
(2)
∵$AB// CD$，
∴$\triangle ABE \backsim \triangle CGE$，
∴$\frac{EB}{GE} = \frac{AE}{CE}$.(6分)
由
(1)知$\frac{EF}{EB} = \frac{AE}{CE}$，
∴$\frac{EB}{GE} = \frac{EF}{EB}$，
∴$EB^{2} = EF · GE$.(8分)
∵$EF = 12$，$GE = 4$，
∴$EB^{2} = 12 × 4$，
∴$EB = 4\sqrt{3}$(负值舍去).(10分)