《2025年大联考单元期末测试卷九年级数学全一册沪科版》

23. 【核心素养·推理能力】数学老师布置了这样一道题目:
若$\alpha$,$\beta$都为锐角,且$\tan \alpha = \frac{1}{3}$,$\tan \beta = \frac{1}{2}$,求$\alpha + \beta$的度数.
甲、乙两位同学想利用正方形网格构图来解决问题.他们分别设计了图1和图2.
(1)请你分别利用图1,图2求出$\alpha + \beta$的度数,并说明理由.
(2)请参考以上思考问题的方法,选择一种方法解决下面问题:
若$\alpha$,$\beta$都为锐角,当$\tan \alpha = 5$,$\tan \beta = \frac{2}{3}$时,在图3的正方形网格中,利用已作出的锐角$\alpha$,画出$\angle MON$,使得$\angle MON = \alpha - \beta$.求出$\alpha - \beta$的度数,并说明理由.

答案：
23.解:
(1)①如图1,在△AMC和△CNB中,$AM=CN,\angle AMC=\angle CNB=90°,MC=BN$,
$\therefore \triangle AMC\cong\triangle CNB(SAS)$,(1分)
$\therefore AC=BC,\angle ACM=\angle CBN$.(2分)
$\because \angle BCN+\angle CBN=90°$,
$\therefore \angle ACM+\angle BCN=90°,\therefore \angle ACB=90°$,
$\therefore \angle CAB=\angle CBA=45°,\therefore \alpha+\beta=45°$.(4分)
②如图2,设正方形的边长为1,
则$CE=1,AE=2,BE=\sqrt{2}$,
$\therefore \frac{EC}{BE}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{BE}{AE}=\frac{\sqrt{2}}{2},\therefore \frac{EC}{BE}=\frac{BE}{AE}$.(5分)
$\because \angle CEB=\angle AEB,\therefore \triangle CEB\sim\triangle BEA$,
$\therefore \angle CAB=\angle CBE=\alpha$,(6分)
$\therefore \angle BED=\angle ECB+\angle CBE=\alpha+\beta$.(7分)
$\because DE=DB,\angle D=90°,\angle BED=45°$,
$\therefore \alpha+\beta=45°$.(8分)
(2)如图3,$\angle MOE=\alpha,\angle NOH=\beta$,
$\angle MON=\alpha-\beta$.

在△MFN和△NHO中,$\because \begin{cases}MF=NH\\ \angle MFN=\angle NHO\\ FN=HO\end{cases}$,
$\therefore \triangle MFN\cong\triangle NHO(SAS)$,(10分)
$\therefore MN=NO,\angle MNF=\angle NOH$.(11分)
$\because \angle NOH+\angle ONH=90°$,
$\therefore \angle ONH+\angle MNF=90°$,(12分)
$\therefore \angle MNO=90°,\therefore \angle NOM=\angle NMO=45°$,
$\therefore \alpha-\beta=45°$.(14分)