《2025年大联考单元期末测试卷九年级数学全一册沪科版》

21. 如图,在锐角三角形$ABC$中,$BC = 6$,$S_{\triangle ABC} = 12$,矩形$MPQN$的两个顶点$M$,$N$分别在$AB$,$AC$上,另两个顶点$P$,$Q$均在$BC$上,高$AD$交$MN$于点$E$.设$MN$的长为$x$,矩形$MPQN$的面积为$y$.
(1) 求$AD$的长,并用含$x$的式子表示线段$AE$的长.
(2) 求$y$关于$x$的函数表达式并写出$x$的取值范围.
(3) 求$y$的最大值.

答案： 21.解:
(1)$\because S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}BC· AD$，$BC = 6$，$S_{\triangle ABC} = 12$，$\therefore AD = \frac{2×12}{6} = 4$。(2分)
$\because MN // BC$，$AD \perp BC$，$\therefore AE \perp MN$。
$\because MN // BC$，$\therefore \triangle AMN \sim \triangle ABC$，$\therefore \frac{MN}{BC}=\frac{AE}{AD}$，
即$\frac{x}{6}=\frac{AE}{4}$，解得$AE = \frac{2}{3}x$。(5分)
(2)$\because AD = 4$，$AE = \frac{2}{3}x$，$\therefore ED = 4 - \frac{2}{3}x$。
$\because$四边形$MPQN$为矩形，
$\therefore \angle EMP = \angle MPD = 90^{\circ}$。
$\because AD$为$\triangle ABC$的高，$\therefore \angle EDP = 90^{\circ}$，
$\therefore$四边形$MPDE$为矩形，
$\therefore MP = ED = 4 - \frac{2}{3}x$，
$\therefore y = x·(4 - \frac{2}{3}x)= - \frac{2}{3}x^{2} + 4x$。(7分)
$\because x＞0$且$4 - \frac{2}{3}x＞0$，$0＜x＜6$，
$\therefore y = - \frac{2}{3}x^{2} + 4x(0＜x＜6)$。(10分)
(3)$y = - \frac{2}{3}x^{2} + 4x = - \frac{2}{3}(x - 3)^{2} + 6$。
又$\because - \frac{2}{3}＜0$，
$\therefore$当$x = 3$时，$y$有最大值，且最大值为$6$。(12分)