《2025年大联考单元期末测试卷九年级数学全一册沪科版》

21. 如图, 在平面直角坐标系中, 一次函数 $ y = x + 1 $ 与反比例函数 $ y = \frac{a}{x}(a \neq 0) $ 的图象交于点 $ A(2, m) $ 和点 $ B $, 与 $ x $ 轴交于点 $ D $.
(1) 求 $ m $, $ a $ 的值及点 $ B $ 的坐标.
(2) 根据图象直接写出不等式 $ x + 1 ＜ \frac{a}{x} $ 的解集.
(3) 若点 $ P $ 是 $ x $ 轴上一点, 且满足 $ \triangle PAB $ 的面积为 5, 求点 $ P $ 的坐标.

答案： 21.解:
(1)
∵一次函数y=x+1经过点A(2,m),
∴m=2+1=3,(1分)
∴点A(2,3).
∵点A在反比例函数$y=\frac{a}{x}(a≠0)$的图象上,
∴a=2×3=6,
∴反比例函数为$y=\frac{6}{x}.(3$分)
由题意,得$\begin{cases}y=x+1,\\y=\frac{6}{x}.\end{cases}$解得$\begin{cases}x=−3,\\y=−2\end{cases}$或$\begin{cases}x=2,\\y=3,\end{cases}$
∴点B(−3,−2).(5分)
(2)由图象可知:当x＜−3或0＜x＜2时,不等
式x+1＜\frac{a}{x}.(7分)
(3)设点P的坐标为(m,0).
在y=x+1中,令y=0,得x=−1,
∴点D(−1,0).(8分)
$S_△PAB=S_△PAD+S_△PBD=\frac{1}{2}×$|m+1|$×3+\frac{1}{2}×$
|m+1|×2=5,(10分)
∴|m+1|=2,解得m=1或−3,
∴点P的坐标为(−3,0)或(1,0).(12分)