《2025年大联考单元期末测试卷九年级数学全一册沪科版》

17. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,将$\triangle ABC$绕点C顺时针旋转得到$\triangle DEC$,点B的对应点为E,点A的对应点D落在线段AB上,DE与BC相交于点F,连接BE.
(1) 求证:DC平分$\angle ADE$.
(2) 若$\angle A = 70^{\circ}$,求$\angle DEB$的度数.

答案： 17.解:
(1)证明:
∵△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC,点B的对应点为E,点A的对应点D落在线段AB上,(1分)
∴CA=CD,∠A=∠CDE,
∴∠A=∠CDA,
∴∠CDA=∠CDE,
∴DC平分∠ADE.(4分)
(2)
∵∠ACB=90°,∠A=70°,
∴∠CBA=90° - ∠A=90° - 70°=20°.
∵∠A=∠CDA=70°,
∴∠ACD=180° - ∠A - ∠CDA=180° - 70° - 70°=40°.(6分)
∵△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC,
∴CB=CE,∠ACD=∠BCE=40°,
　∠CED=∠CBA=20°,
∴∠CBE=∠CEB=$\frac{1}{2}$×(180° - ∠BCE)=$\frac{1}{2}$×(180° - 40°)=70°,
∴∠DEB=∠CEB - ∠CED=70° - 20°=50°,
∴∠DEB的度数为50°.(10分)

18. 如图,某地欲搭建一座圆弧形拱桥,跨度$AB = 32m$,拱高$CD = 8m$(点C为AB的中点,点D为$\overset{\frown}{AB}$的中点).
(1) 求该圆弧所在圆的半径.
(2) 在距离拱桥的一端4m处欲立一桥墩EF支撑,求桥墩的高度.

答案：
18.解:
(1)如图,设$\overset{\frown}{AB}$所在的圆心为点O,点C为AB的中点,CD⊥AB于点D,延长DC经过点O,连接OB.(2分)
　设⊙O的半径为R.
　在Rt△OBC中,OB²=OC²+CB²,(3分)
∴R²=(R - 8)²+16²,解得R=20.(5分)
(2)在圆弧形中,设点F在$\overset{\frown}{AB}$上,作FE⊥AB于点E,OH⊥FE于点H,
　
　则OH=CE=16 - 4=12(m),OF=R=20m.(7分)
　在Rt△OHF中,HF=$\sqrt{20^{2}-12^{2}}$=16(m).(8分)
∵HE=OC=OD - CD=20 - 8=12(m),
　EF=HF - HE=16 - 12=4(m),
∴在距离拱桥的一端4m处所立桥墩EF的高度为4m.(10分)