《2025年大联考单元期末测试卷九年级数学全一册沪科版》

17. 【核心素养·几何直观】如图,在$□ ABCD$中,$BD$为对角线,点$E$,$F$分别是边$BC$,$CD$上的点,连接$AE$,$AF$,且$EF// BD$,$AE$,$AF$分别交$BD$于点$G$,$H$.
(1) 求证:$HF· AG = GE· AH$.
(2) 若$\frac{AH}{FH}=3$,求$\frac{DG}{BG}$的值.

答案： 17.解：
(1)证明：在$□ ABCD$中，$BD$为对角线，点$E$，$F$分别是边$BC$，$CD$上的点，$EF // BD$，
$\therefore \frac{HF}{AH} = \frac{GE}{AG}$，
$\therefore HF · AG = GE · AH$。(5分)
(2)$\because \frac{AH}{FH} = 3$，$\therefore \frac{AG}{GE} = 3$。(7分)
$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore BC // AD$，
$\therefore \frac{DG}{BG} = \frac{AG}{GE} = 3$。(10分)

18. 如图,在$\triangle ABC$中,$DF// AC$,$DE// BC$.
(1) 求证:$\frac{BF}{FC}=\frac{CE}{AE}$.
(2) 若$AE = 4$,$EC = 2$,$BC = 10$,求$BF$和$CF$的长.

答案： 18.解：
(1)证明：$\because DF // AC$，$\therefore \frac{BF}{FC} = \frac{BD}{AD}$
$\because DE // BC$，$\therefore \frac{BD}{AD} = \frac{CE}{AE}$，$\therefore \frac{BF}{FC} = \frac{CE}{AE}$。(4分)
(2)设$BF = x$，$\because BC = 10$，$\therefore CF = 10 - x$。(6分)
由
(1)可知，$\frac{BF}{FC} = \frac{CE}{AE}$，且$AE = 4$，$EC = 2$，
$\therefore \frac{x}{10 - x} = \frac{2}{4}$，解得$x = \frac{10}{3}$，$\therefore BF = \frac{10}{3}$，
$\therefore CF = 10 - \frac{10}{3} = \frac{20}{3}$。(10分)