《2025年大联考单元期末测试卷九年级数学全一册沪科版》

17. 如图,在△ABC 中,AB = AC = $\sqrt{5}$,BC = 2,过点 B 作 BD ⊥ AC,垂足为点 D.
(1) 求 cos∠ACB 的值.
(2) 点 E 是 BD 延长线上一点,连接 CE. 当∠E = ∠A 时,求线段 CE 的长.

答案：
17.解：
(1)过点A作AF⊥BC，垂足为点F.(1分)
∵AB = AC = $\sqrt{5}$，BC = 2，
∴BF = FC = $\frac{1}{2}$BC = 1.(3分)
在Rt△ACF中，cos∠ACB = $\frac{CF}{AC}$ = $\frac{1}{\sqrt{5}}$ = $\frac{\sqrt{5}}{5}$.(5分)
(2)在Rt△ACF中，AF = 2，FC = 1，
∴tan∠ACF = 2.(6分)
∵BD⊥AC，
∴∠BDC = 90°。
在Rt△BDC中，tan∠ACF = $\frac{BD}{CD}$ = 2.(7分)
又
∵∠BAC = ∠E，∠ADB = ∠EDC = 90°，
∴△ABD∽△ECD,(8分)
∴$\frac{AB}{CE}$ = $\frac{BD}{CD}$ = 2，
∴CE = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{\sqrt{5}}{2}$.(10分)
　　　　　　　　　　　

18. 【核心素养·几何直观】如图,在矩形 ABCD 中,AE ⊥ BD,CF ⊥ BD,垂足分别是点 E,F.
(1) 求证:BE = DF.
(2) 若 AE + CF = 2EF,求∠ADB 的正切值.

答案：
18.解：
(1)证明：
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB = CD，AB//CD，
∴∠ABE = ∠CDF.(1分)
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB = ∠CFD = 90°,(2分)
∴△ABE≌△CDF(AAS)，
∴BE = DF.(4分)
(2)如图，连接AC，与BD相交于点O.
∵四边形ABCD为矩形，
∴AC = BD，AO = $\frac{1}{2}$AC，BO = DO = $\frac{1}{2}$BD，
∴AO = DO.(5分)
∵△ABE≌△CDF，
∴BE = DF，AE = CF.(6分)
又
∵AE + CF = 2EF，
∴AE = CF = EF.
∵BO = DO，BE = DF，
∴BO - BE = DO - DF，
即OE = OF，
∴OE = $\frac{1}{2}$EF = $\frac{1}{2}$AE.(7分)
设OE = a，则AE = 2a。
∵AE⊥BD，
∴∠AED = 90°，
∴AO = $\sqrt{AE^2 + OE^2}$ = $\sqrt{(2a)^2 + a^2}$ = $\sqrt{5}$a，
∴DO = $\sqrt{5}$a,(8分)
∴DE = DO + OE = $\sqrt{5}$a + a = ($\sqrt{5}$ + 1)a,(9分)
∴tan∠ADB = tan∠ADE = $\frac{AE}{DE}$ = $\frac{2a}{(\sqrt{5} + 1)a}$ = $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$(10分)