《2025年大联考单元期末测试卷九年级数学全一册沪科版》

14. 如图,$\triangle ABC$的顶点坐标分别为$A(0,1)$,$B(3,3)$,$C(1,3)$.
(1) 请画出$\triangle ABC$关于点O成中心对称的$\triangle A_1B_1C_1$,并写出点$B_1$的坐标.
(2) 请画出$\triangle ABC$绕点O顺时针旋转$90^{\circ}$后的$\triangle A_2B_2C_2$,并写出点$C_2$的坐标.

答案：
14.解:
(1)如图所示,△A₁B₁C₁即为所求.点B₁的坐标为(-3,-3).(4分)
　　　　　
(2)如图所示,△A₂B₂C₂即为所求.点C₂的坐标为(3,-1).(8分)

15. 教材变式·人教九上P89T4如图,在$\odot O$中,弦AB,CD相交于点E,$AD = BC$.
(1) 比较$\overset{\frown}{AB}$与$\overset{\frown}{CD}$的长度,并证明你的结论.
(2) 求证:$AE = CE$.

答案： 15.解:
(1)AB与CD的长度相等.理由如下:(1分)
∵AD=BC,
∴$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$,
∴$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AC}$,
∴$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}$.(4分)
(2)证明:在△ADE和△CBE中，
　　$\begin{cases}∠A=∠C,\\∠AED=∠CEB,\\AD=CB,\end{cases}$
∴△ADE≌△CBE(AAS),
∴AE=CE.(8分)

16. 如图,$\triangle ABC$内接于$\odot O$,且$AB = AC$.
(1) 用无刻度的直尺找出BC的中点F,并说明理由.
(2) 若BD,CE分别是$\triangle ABC$的高,求证:B,C,D,E四点在同一个圆上.

答案：
16.解:
(1)如图,连接并且延长AO交BC于点F，点F就是所求的BC的中点.(1分)
　理由如下:连接OB,OC,则OA=OB=OC.
∵AB=AC,
∴△AOB≌△AOC(SSS),
∴∠FAB=∠FAC.
∵AB=AC,AF平分∠BAC,
∴BF=CF,
∴点F就是所求的BC的中点.(4分)
　
(2)证明:如图,连接EF,DF.(5分)
∵BD,CE是△ABC的高，
∴BD⊥AC,CE⊥AB,
∴∠BDC=∠CEB=90°.
∵点F是BC的中点，
∴EF=DF=BF=CF,
∴B,C,D,E四点都在以BC为直径的圆上，
∴B,C,D,E四点在同一个圆上.(8分)