《2025年大联考单元期末测试卷九年级数学全一册沪科版》

20. 如图，一次函数 $ y = k x + b $ 与反比例函数 $ y = \frac { m } { x } $ 的图象交于 $ A ( n, 3 ) $，$ B ( - 3, - 2 ) $ 两点。
（1）求反比例函数与一次函数的表达式。
（2）过点 $ A $ 作 $ A C \perp y $ 轴，垂足为点 $ C $，求 $ \triangle A B C $ 的面积。
（3）直接写出关于 $ x $ 的不等式 $ k x + b \geq \frac { m } { x } $ 的解集。

答案： 20.解：
(1)
∵反比例函数$y = \frac{m}{x}$的图象经过$A(n,3)$，$B( - 3, - 2)$两点，
∴将点$B( - 3, - 2)$代入$y = \frac{m}{x}$，得$m = 6$，
∴反比例函数的表达式为$y = \frac{6}{x}$，(2分)
∴$n = 2$，
∴点$A$的坐标为$(2,3)$。
将点$A(2,3)$，$B( - 3, - 2)$代入$y = kx + b$，
得$\begin{cases} 2k + b = 3 \\ - 3k + b = - 2 \end{cases}$，解得$\begin{cases} k = 1 \\ b = 1 \end{cases}$，
∴一次函数的表达式为$y = x + 1$.(4分)
(2)
∵点$A$的坐标为$(2,3)$，$AC \perp y$轴，
∴$AC = 2$.(6分)
∵点$B$的坐标为$( - 3, - 2)$，
∴$\triangle ABC$的边$AC$上的高为$3 - ( - 2) = 5$，
∴$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} × 2 × 5 = 5$.(8分)
(3)不等式$kx + b \geqslant \frac{m}{x}$的解集为$- 3 \leqslant x ＜ 0$或$x \geqslant 2$.(10分)