《2025年大联考单元期末测试卷九年级数学全一册沪科版》

15. 在 Rt△ABC 中,若 2AB = AC,求 cos C 的值.

答案： 15.解：当∠B = 90°时，
BC = $\sqrt{AC^2 - AB^2}$ = $\sqrt{4AB^2 - AB^2}$ = $\sqrt{3}$AB，
∴cosC = $\frac{BC}{AC}$ = $\frac{\sqrt{3}AB}{2AB}$ = $\frac{\sqrt{3}}{2}$；(4分)
当∠A = 90°时，BC = $\sqrt{AB^2 + AC^2}$ = $\sqrt{AB^2 + 4AB^2}$ = $\sqrt{5}$AB，
∴cosC = $\frac{AC}{BC}$ = $\frac{2AB}{\sqrt{5}AB}$ = $\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
综上所述，cosC的值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$或$\frac{2\sqrt{5}}{5}$.(8分)

16. 如图,在△ABC 中,AD 是边 BC 上的高,点 E 为边 AC 的中点,BC = 14,AD = 12,sin B = $\frac{4}{5}$.
(1) 求线段 CD 的长.
(2) 求 sin∠EDC 的值.

答案： 16.解：
(1)在△ABC中，
∵AD是边BC上的高，
∴AD⊥BC，
∴sinB = $\frac{AD}{AB}$ = $\frac{4}{5}$.(1分)
∵AD = 12，
∴AB = $\frac{5AD}{4}$ = $\frac{5×12}{4}$ = 15.(2分)
在Rt△ABD中，
∵BD = $\sqrt{AB^2 - AD^2}$ = $\sqrt{15^2 - 12^2}$ = 9,(3分)
∴CD = BC - BD = 14 - 9 = 5.(4分)
(2)在Rt△ADC中，
∵AD = 12，CD = 5，
∴AC = 13.(5分)
∵点E是AC的中点，
∴DE = EC，
∴∠EDC = ∠C,(7分)
∴sin∠EDC = sinC = $\frac{AD}{AC}$ = $\frac{12}{13}$.(8分)