《2025年大联考单元期末测试卷九年级数学全一册沪科版》

23. (2024·安徽) 已知抛物线 $ y = -x^2 + bx $ ( $ b $ 为常数) 的顶点横坐标比抛物线 $ y = -x^2 + 2x $ 的顶点横坐标大 1.
(1) 求 $ b $ 的值.
(2) 点 $ A(x_1, y_1) $ 在抛物线 $ y = -x^2 + 2x $ 上, 点 $ B(x_1 + t, y_1 + h) $ 在抛物线 $ y = -x^2 + bx $ 上.
① 若 $ h = 3t $, 且 $ x_1 \geq 0 $, $ t ＞ 0 $, 求 $ h $ 的值;
② 若 $ x_1 = t - 1 $, 求 $ h $ 的最大值.

答案： 23.解:
(1)抛物线$y=x^2+bx$的顶点横坐标为
$x=−\frac{b}{2}，$抛物线$y=−x^2+2x$的顶点横坐标
为$x=−\frac{2}{−2}=1.$
根据题意,得$\frac{b}{2}−1=1,$解得b=4.(2分)
(2)①
∵h=3t,
∴点$B(x_1,y_1+3t)$在抛物线
$y=−x^2+4x$上,
∴$y_1+3t=−(x_1+t)^2+4(x_1+t).$
∵点$A(x_1,y_1)$在抛物线$y=−x^2+2x$上,
∴$y_1=−x_1^2+2x_1,(4$分)
∴$y_1+3t−y_1=−2tx_1−t^2+2x_1+4t=3t,$
整理,得$(1−t)(2x_1+t)=0.$
∵$x_1≥0,t＞0,$
∴$2x_1+t＞0,$
∴1−t=0,t=1,
∴h=3.(8分)
②由①可得$−2tx_1−t^2+2x_1+4t=3t,$
即$h=−t^2−2tx_1+4t.(10$分)
又
∵$x_1=t−1,$
∴$h=−3t^2+8t−2,$
配方,得$h=−3(t−\frac{4}{3})^2+\frac{10}{3},$
∵−3＜0,
∴当$t=\frac{4}{3}$时,h有最大值,最大值为$\frac{10}{3}.(14$分)