《2025年大联考单元期末测试卷九年级数学全一册沪科版》

17. 如图,在$\triangle ABE$中,$\angle AEB = 90^{\circ}$,$\angle BAE = 30^{\circ}$,点$C$,$D$分别在线段$BE$,$AE$上,且$\angle CDE = 60^{\circ}$.若$BC = 4$m,$AD = 20$m,试求$BE$的长(结果精确到0.1m,$\sqrt{3} \approx 1.73$).

答案： 17.解:设DE=x m.
$\because \angle CDE=60°,\angle AEB=90°$,
$\therefore CE=DE· \tan 60°=\sqrt{3}x$ m,
$\therefore BE=BC+CE=(4+\sqrt{3}x)$ m.(3分)
$\because \angle BAE=30°$,
$\therefore AE=\sqrt{3}BE=(4\sqrt{3}+3x)$ m,(4分)
$\therefore 4\sqrt{3}+3x=20+x$,解得$x=10-2\sqrt{3}$,(6分)
$\therefore BE=4+\sqrt{3}(10-2\sqrt{3})=10\sqrt{3}-2\approx15.3$ m.故BE的长为15.3 m.(8分)

18. 随着测量技术的发展,测量飞机可以实现精确的空中测量.如图,为测量我国某海岛两端$A$,$B$的距离,我国一架测量飞机在距海平面垂直高度为2km的点$C$处,测得端点$A$的俯角为$30^{\circ}$,然后沿着平行于$AB$的方向飞行5.82km到点$D$,并测得端点$B$的俯角为$57^{\circ}$.求某海岛两端$A$,$B$的距离.(结果精确到0.1km,参考数据:$\sin 57^{\circ} \approx 0.84$,$\cos 57^{\circ} \approx 0.55$,$\tan 57^{\circ} \approx 1.54$,$\sqrt{3} \approx 1.73$)

答案：
18.解:如图,过点A作AE⊥CD于点E,过点B作BF⊥CD延长线于点F.(1分)

$\because AB// CD,\therefore \angle AEF=\angle EFB=\angle ABF=90°$,
$\therefore$四边形ABFE为矩形,
$\therefore AB=EF,AE=BF=2$.(3分)
在Rt△AEC中,$\angle C=30°,AE=2$,
$\therefore CE=\frac{AE}{\tan 30°}=\sqrt{3}AE=2\sqrt{3}\approx3.5$.(5分)
在Rt△BFD中,$\angle BDF=57°,BF=2$,
$\therefore DF=\frac{BF}{\tan \angle BDF}=\frac{2}{\tan 57°}\approx1.3$,(7分)
$\therefore AB=EF=CD+DF-CE=5.82+1.3-3.5\approx3.6$.
答:海岛两端AB的距离约为3.6 km.(8分)