《2025年大联考单元期末测试卷九年级数学全一册沪科版》

19. 已知二次函数 $ y = x^2 - 4mx + 3m^2 $, $ m \neq 0 $.
(1) 求证: 该二次函数的图象与 $ x $ 轴总有两个公共点.
(2) 若 $ m ＞ 0 $, 且两交点间的距离为 2, 求 $ m $ 的值.

答案： 19.解:
(1)证明:令y=0,得$x^2−4mx+3m^2=0,$
∴$Δ=(−4m)^2−4×3m^2=4m^2.$
∵m≠0,
∴$Δ=4m^2＞0,$
∴方程总有两个不相等的实数根,
∴该二次函数图象与x轴总有两个公共点(5分)
(2)令y=0,得$x^2−4mx+3m^2=0,$即(x−3m)(x−m)=0,
解得$x_1=3m,x_2=m.(8$分)
由题意知|$x_1−x_2$|=|3m−m|=2|m|=2,
解得m=1或m=−1(不合题意,舍去),
∴m的值为1.(10分)

20. 小红经营的网店以销售文具为主, 其中一款笔记本的进价为每本 10 元. 该网店在试销期间发现, 每周销售数量 $ y $ 本与销售单价 $ x $ 元之间满足一次函数关系, 三对对应值如下表所示.

(1) 求 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数表达式.
(2) 通过与其他网店对比, 小红将这款笔记本的单价定为 $ x $ 元 $ (12 \leq x \leq 15 $, 且 $ x $ 为整数). 设每周销售该款笔记本所获的利润为 $ w $ 元, 当销售单价定为多少元时, 每周所获利润最大, 最大利润是多少元?

答案： 20.解:
(1)设y与x之间的函数表达式为y=kx+b
(k≠0).
把(12,500),(14,400)代入,
得$\begin{cases}12k+b=500,\\14k+b=400.\end{cases}$解得$\begin{cases}k=−50,\\b=1100.\end{cases}$
∴y与x之间的函数表达式为y=−50x+1100.
(4分)
(2)w=(x−10)y=(x−10)(−50x+1100)=
$−50(x−16)^2+1800.(6$分)
∵a=−50＜0,
∴w有最大值,
∴当x＜16时,w随x的增大而增大.
∵12≤x≤15,且x为整数,
∴当x=15时,w有最大值,
此时$w=−50×(15−16)^2+1800=1750.$
答:当销售单价定为15元时,每周所获利润
最大,最大利润是1750元.(10分)