《2025年大联考单元期末测试卷九年级数学全一册沪科版》

15. 如图是抛物线 $ y = \frac{1}{2}(x - h)^2(h \neq 0) $, 其中 $ OA = OC $, 求抛物线对应的函数表达式.

答案： 15.解:
∵抛物线对应的函数表达式为$y=\frac{1}{2}(x−h)^2,$
∴C(h,0).
当x=0时$,y=\frac{1}{2}(x−h)^2=\frac{1}{2}h^2,$
∴$A(0,\frac{1}{2}h^2).(4$分)
∵OA=OC,
∴$\frac{1}{2}h^2=h,$
解得$h_1=2,h_2=0($舍去),
∴抛物线对应的函数表达式为$y=\frac{1}{2}(x−2)^2.$
(8分)

16. 教材变式·沪科九上 P60T4 如图, 在平面直角坐标系中, 反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(x ＞ 0, k ＞ 0) $ 的图象经过点 $ A(m, n) $, $ B(2, 1) $, 且 $ n ＞ 1 $, 过点 $ B $ 作 $ y $ 轴的垂线, 垂足为点 $ C $. 若 $ \triangle ABC $ 的面积为 2, 求点 $ A $ 的坐标.

答案： 16.解:
∵B(2,1),
∴BC=2.
∵△ABC的面积为2,
∴$\frac{1}{2}×2×(n−1)=2,$解得n=3.(4分)
∵B(2,1),
∴k=2,
∴反比例函数的表达式为
$y=\frac{2}{x},$
∴n=3时$,m=\frac{2}{3},$
∴点A的坐标为$(\frac{2}{3},3).(8$分)

17. 如图, 在平面直角坐标系中, 直线 $ y = -x + 6 $ 与反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $

的

图象交于点 $ A(1, a) $ 和点 $ B $.
(1) 求反比例函数的表达式.
(2) 若点 $ C $ 为线段 $ AB $ 上一点, 过点 $ C $ 作 $ CD // x $ 轴交双曲线于点 $ D $, 连接 $ OC $, $ OD $. 若 $ \triangle OCD $ 的面积为 $ \frac{3}{2} $, 求点 $ C $ 的坐标.

答案： 17.解:
(1)将A(1,a)代入直线y=−x+6,
得a=−1+6=5,
∴点A(1,5).
将点A(1,5)代入反比例函数$y=\frac{k}{x},$得k=5,
∴反比例函数的表达式为$y=\frac{5}{x}.(4$分)
(2)由CD//x轴,设点$C(−t+6,t),D(\frac{5}{t},t).$
∵$S_△OCD=\frac{1}{2}CD·y_C,$
∴$\frac{1}{2}CD·y_C=\frac{1}{2}(6−t−\frac{5}{t})·t=\frac{3}{2},(6$分)
∴$t^2−6t+8=0,$解得t=2或4,
∴点C的坐标为(4,2)或(2,4).(8分)