《2025年大联考单元期末测试卷九年级数学全一册沪科版》

23. 抛物线 $ y = a x ^ { 2 } - 3 a x - 3 a + 1 ( a ＜ 0 ) $ 与 $ y $ 轴交于点 $ A $，过点 $ A $ 作 $ A B // x $ 轴，与抛物线交于点 $ B $。
(1)若抛物线经过点 $ ( - 1, 0 ) $。
①点 $ B $ 的坐标为(3,4)；
②如图，连接 $ O B $，作 $ \angle A O B $ 的平分线 $ O C $，交抛物线于点 $ C $，交 $ A B $ 于点 $ D $，求点 $ C $ 的坐标。
(2)已知点 $ G ( 1, 3 ) $，$ H ( 3, 3 ) $，若抛物线与线段 $ G H $ 有且只有一个交点，请直接写出 $ a $ 的取值范围。

答案： 23.解：
(1)①
∵抛物线$y = ax^{2} - 3ax - 3a + 1(a ＜ 0)$过点$( - 1,0)$，
∴$a + 3a - 3a + 1 = 0$，
∴$a = - 1$，
∴抛物线对应的函数表达式为$y = - x^{2} + 3x + 4$，
∴抛物线与$y$轴交于点$A(0,4)$。
当$y = 4$时，即$y = - x^{2} + 3x + 4 = 4$，
解得$x_{1} = 0$，$x_{2} = 3$，
∴点$B(3,4)$.(3分)
②过点$D$作$DH \perp OB$，
垂足为点$H$。
∵$AB// x$轴，
∴$AB \perp y$轴。
∵$OC$平分$\angle AOB$，
∴$AD = DH$。
∵$S_{\triangle AOD} = \frac{1}{2}OA · AD$，
$S_{\triangle BOD} = \frac{1}{2}OB · DH = \frac{1}{2}DB · OA$，
∴$\frac{S_{\triangle AOD}}{S_{\triangle BOD}} = \frac{OA}{OB} = \frac{AD}{DB}$。
∵$A(0,4)$，$B(3,4)$，
∴$OA = 4$，$AB = 3$，$OB = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5$，
∴$\frac{4}{5} = \frac{AD}{3 - AD}$，
∴$AD = \frac{4}{3}$，
∴$D(\frac{4}{3},4)$.(5分)
设直线$OD$的表达式为$y = kx$，
∴$\frac{4}{3}k = 4$，解得$k = 3$，即直线$OD$的表达式为$y = 3x$。
联立抛物线和直线表达式，得$\begin{cases} y = - x^{2} + 3x + 4 \\ y = 3x \end{cases}$，
解得$\begin{cases} x_{1} = 2 \\ y_{1} = 6 \end{cases}$或$\begin{cases} x_{2} = - 2 \\ y_{2} = - 6 \end{cases}$(不合题意舍去)，
∴点$C(2,6)$.(8分)
(2)抛物线$y = ax^{2} - 3ax - 3a + 1 = a(x - \frac{3}{2})^{2} + \frac{4 - 21a}{4}$，
∴抛物线对称轴为$x = \frac{3}{2}$，顶点为$(\frac{3}{2},\frac{4 - 21a}{4})$。
∵点$G(1,3)$，$H(3,3)$，若抛物线与线段$GH$有且只有一个交点，
①当抛物线$y = ax^{2} - 3ax - 3a + 1$的顶点$(\frac{3}{2},\frac{4 - 21a}{4})$在线段$GH$上时，
即$\frac{4 - 21a}{4} = 3$，解得$a = - \frac{8}{21}$；(11分)
②当抛物线顶点落在$GH$上方时，
当$x = 1$时，$y = a - 3a - 3a + 1 = - 5a + 1$；
当$x = 3$时，$y = 9a - 9a - 3a + 1 = - 3a + 1$。
∵$a ＜ 0$，对称轴为$x = \frac{3}{2}$，
∴$- 5a + 1 ＞ - 3a + 1$。
∵抛物线$y = ax^{2} - 3ax - 3a + 1$与线段$GH$有且只有一个交点，
∴这个交点一定在对称轴右侧，
∴$\begin{cases} - 5a + 1 ＞ 3 \\ - 3a + 1 \leqslant 3 \end{cases}$，解得$- \frac{2}{3} \leqslant a ＜ - \frac{2}{5}$。
综上所述，$a$的取值范围是$a = - \frac{8}{21}$或$- \frac{2}{3} \leqslant a ＜ - \frac{2}{5}$.(14分)