《2025年大联考单元期末测试卷九年级数学全一册沪科版》

19. 如图是正方形、正五边形、正六边形.
(1) 观察图中各正多边形相邻两对角线相交所形成的较大的角 $ a_4,a_5,a_6 $,则 $ a_4 = $90°$ $, $ a_5 = $108°$ $, $ a_6 = $120°$ $.
(2) 按此规律,记正 $ n $ 边形相邻两对角线相交所形成的较大的角为 $ a_n $,请用含 $ n $ 的代数式表示 $ a_n = $$\frac{(n - 2) · 180^{\circ}}{n}$$ $(其中 $ n $ 为不小于 4 的整数)
(3) 若 $ a_n = 150° $,求相应的正多边形的边数 $ n $.

答案： 19.解:
(1)由正方形ABCD,得AC⊥BD,
∴a₄=90°.
　由正五边形ABCDE,
　得AB=BC=CD,∠ABC=∠BCD=108°,
∴∠DBC=∠ACB=$\frac{180°−108^{\circ}}{2}$=36°,
∴a₅=180°−∠DBC−∠ACB=108°.
　由正六边形ABCDEF,得AB=BC=CD,
　∠ABC=∠BCD=120°,
∴∠DBC=∠ACB=$\frac{180°−120^{\circ}}{2}$=30°,
∴a₆=180°−∠DBC−∠ACB=120°.
　故答案为90°,108°,120°.(3分)
(2)根据
(1)中的结果发现aₙ等于正n边形一个内角的度数，
∴aₙ=$\frac{(n - 2) · 180^{\circ}}{n}$.
　故答案为$\frac{(n - 2) · 180^{\circ}}{n}$.(6分)
(3)
∵aₙ=$\frac{(n - 2) · 180^{\circ}}{n}$
∴150°=$\frac{(n - 2) · 180^{\circ}}{n}$,解得n=12.(10分)

20. 如图,四边形 $ ABCD $ 内接于 $ \odot O $, $ AC $ 为直径,点 $ D $ 为 $ \overset{\frown}{ACB} $ 的中点,过点 $ D $ 的切线与 $ BC $ 的延长线交于点 $ E $.
(1) 用尺规作图作出圆心 $ O $(保留作图痕迹,不写作法).
(2) 求证: $ DE \perp BC $.

答案：
20.解:
(1)如图所示,点O即为
　所求.(4分)
(2)证明:如图,连接DO,延
　　　　　　　　　　　　　 长DO交AB于点F.
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE.(6分)
∵点D为$\overset{\frown}{ACB}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AD} = \overset{\frown}{BD}$，
∴DF⊥AB,
∴DE//AB,
∴∠E+∠B=180°.(8分)
∵AC是直径，
∴∠ABC=90°,
∴∠E=90°,
∴DE⊥BE.(10分)