《2025年大联考单元期末测试卷九年级数学全一册沪科版》

21. 如图,矩形$OABC$的顶点$A$,$C$分别在$x$轴和$y$轴上,点$B$的坐标为$(2,3)$.反比例函数$y = \frac{k}{x}(x ＞ 0)$的图象经过$BC$的中点$D$,且与$AB$交于点$E$,连接$DE$.
(1) 求$k$的值及点$E$的坐标.
(2) 若点$F$是边$OC$上一点,且$\triangle FBC \sim \triangle DEB$,求点$F$的坐标.

答案： 21.解：
(1)在矩形OABC中，
∵点B的坐标为(2,3)，
∴BC的中点D的坐标为(1,3).(1分)
又
∵反比例函数$y = \frac{k}{x}$经过点D(1,3)，
∴$3 = \frac{k}{1}$，
∴$k = 3$.(3分)
又
∵点E在边AB上，
∴点E的横坐标为2.(4分)
又
∵反比例函数$y = \frac{3}{x}$经过点E，
∴点E的纵坐标为$\frac{3}{2}$，
∴点E的坐标为$(2,\frac{3}{2})$.(5分)
(2)由
(1)，得$BD = 1$，$BE = \frac{3}{2}$，$OC = 3$，$BC = 2$.(6分)
∵$\triangle FBC \sim \triangle DEB$，
∴$\frac{CF}{BD}=\frac{BC}{BE}$，即$\frac{CF}{1}=\frac{2}{\frac{3}{2}}$，
∴$CF = \frac{4}{3}$，(10分)
∴$OF = OC - CF = 3 - \frac{4}{3}=\frac{5}{3}$，即点F的坐标为$(0,\frac{5}{3})$.(12分)