《2025年大联考单元期末测试卷九年级数学全一册沪科版》

17. 如图，在△ABC 中，AD 交 BC 于点 D，点 E，F，G 分别是 AB，AC，AD 上的点，且 BE = GF = AF，FG//BE，连接 BG，EF。
（1）求证：AD 平分∠BAC。
（2）若 AB = 4，AG = 3，BE = $\frac{9}{4}$，求证：△ABG∽△AGF。

答案： 17.证明:
(1)$\because GF = AF,\therefore \angle FAG = \angle FGA$.
$\because FG // BE,\therefore \angle BAD = \angle FGA$,
$\therefore \angle FAG = \angle BAD$,即AD平分$\angle BAC$.(4分)
(2)$\because BE = GF = AF,\therefore AF = \frac {9} {4}$.
$\because AB = 4,AG = 3,BE = \frac {9} {4}$,
$\therefore \frac {AF} {AG} = \frac {FG} {AG} = \frac {BE} {AG} = \frac {AG} {AB} = \frac {3} {4}$.(8分)
又$\because \angle FAG = \angle BAD$,
$\therefore \triangle ABG \sim \triangle AGF$.(10分)

18. 如图，在矩形 ABCD 中，已知 AB = 24，BC = 12，点 E 沿边 BC 从点 B 开始向点 C 以每秒 2 个单位的速度运动；点 F 沿边 CD 从点 C 开始向点 D 以每秒 4 个单位的速度运动。假设点 E，F 同时出发，用 t s（0 ≤ t ≤ 6）表示运动的时间。请回答下列问题：
（1）当 t 为何值时，△CEF 是等腰直角三角形？
（2）当 t 为何值时，以点 E，C，F 为顶点的三角形与△ACD 相似？

答案： 18.解:
(1)当$CE = CF$时,$\triangle CEF$是等腰直角三角形，
$\therefore 4t = 12 - 2t,\therefore t = 2$,
即当$t = 2$时,$\triangle CEF$是等腰直角三角形.(4分)
(2)①当$\frac {CE} {AD} = \frac {CF} {CD}$时,$\triangle ECF \sim \triangle ADC$,
$\therefore \frac {12 - 2t} {12} = \frac {4t} {24},\therefore t = 3$.(7分)
②当$\frac {CE} {CD} = \frac {CF} {AD}$时,$\triangle FCE \sim \triangle ADC$,
$\therefore \frac {12 - 2t} {24} = \frac {4t} {12},\therefore t = \frac {6} {5}$
综上所述,当$t = \frac {6} {5}$或3时,以点E,C,F为顶点的三角形与$\triangle ACD$相似.(10分)