《2025年大联考单元期末测试卷九年级数学全一册沪科版》

22. 如图,在圆 $ O $ 中,点 $ A,B,C,D $ 为圆周的四等分点, $ AE $ 为切线,连接 $ ED $,并延长交圆 $ O $ 于点 $ F $,连接 $ BF $ 交 $ AC $ 于点 $ G $.
(1) 求证: $ AD $ 平分 $ \angle CAE $.
(2) 求证: $ \triangle ADE \cong \triangle ABG $.
(3) 若 $ AE = 3 $, $ AG = 3GC $,求 $ \cos \angle CBF $ 的值.

答案：
22.解:
(1)证明:
∵点A,B,C,D为圆周的四等分点，
∴$\overset{\frown}{CD} = \overset{\frown}{CB}$，AC为直径，
∴∠BAC=∠DAC=∠ACB=45°.(2分)
∵AE为切线，
∴AC⊥AE,
∴∠CAE=90°,(3分)
∴∠DAE=45°,
∴AD平分∠CAE.(4分)
(2)
∵∠ABF+∠ADF=180°,
　∠ADE+∠ADF=180°,
∴∠ADE=∠ABF.(5分)
　在△ADE和△ABG中，
∵$\begin{cases} \angle ADE = \angle ABG, \\AD = AB, \\\angle DAE = \angle BAG, \end{cases}$
∴△ADE≌△ABG(ASA).(7分)
(3)如图,过点G作GH⊥BC于点H.
　　　　　　　　　　　　
∵△ADE≌△ABG,
∴AG=AE=3.
∵AG=3CG,
∴CG=1,AC=4.(8分)
∵AC为直径，
∴∠ABC=90°.
∵∠ACB=45°,
∴BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC=2√2.(9分)
　在Rt△CGH中,CH=GH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∴BH=BC−CH=2√2 - $\frac{\sqrt{2}}{2}$ = $\frac{3\sqrt{2}}{2}$(10分)
　在Rt△BGH中,
　　　　　　　　　BG=$\sqrt{GH²+BH²}$=$\sqrt{ \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^{2} + \left( \frac{3\sqrt{2}}{2} \right)^{2} }$ = $\sqrt{5}$(11分)
　
　
∴cos∠HBG=$\frac{BH}{BG}$=$\frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{5}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$,
即cos∠CBF的值为$\frac{3\sqrt{10}}{10}$.(12分)