《2025年大联考单元期末测试卷九年级数学全一册沪科版》

8. 【数学文化】中国古代数学家赵爽设计的“弦图”蕴含了丰富的数学知识.如图,在由四个全等的直角三角形($\triangle DAE$,$\triangle ABF$,$\triangle BCG$,$\triangle CDH$)和中间一个小正方形$EFGH$拼成的大正方形$ABCD$中.设$\angle BAF = \alpha$,若$2\cos \alpha = 3\sin \alpha$,则正方形$ABCD$与正方形$EFGH$的面积的比值为 (A)

A.13
B.$\sqrt{13}$
C.5
D.$\sqrt{5}$

答案： 8.A

9. 小明在学习“锐角三角函数”时发现,将如图所示的矩形纸片$ABCD$沿过点$B$的直线折叠,使点$A$落在$BC$上的点$E$处,还原后,再沿过点$E$的直线折叠,使点$A$落在$BC$上的点$F$处,这样就可以求出$67.5^{\circ}$的正切值是 (B)

A.$\sqrt{3} + 1$
B.$\sqrt{2} + 1$
C.2.5
D.$\sqrt{5}$

答案： 9.B

10. 【核心素养·应用意识】一艘游轮从小岛$A$正南方向的点$B$处向西航行$m$n mile到达点$C$处,然后沿北偏西$45^{\circ}$方向航行$n$n mile到达点$D$处,此时观测到小岛$A$在北偏东$60^{\circ}$方向,则小岛$A$与出发点$B$之间的距离为 (A)

A.$\frac{\sqrt{3}}{3}m + \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{6}}{6}n$
B.$\frac{\sqrt{3}}{3}n + \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{6}}{6}m$
C.$\frac{\sqrt{3}}{3}m + \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{6}}{6}n$
D.$\frac{\sqrt{3}}{3}n + \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{6}}{6}m$

答案： 10.A

11. 已知$\angle A + \angle B = 90^{\circ}$,$\sin A = \frac{3}{5}$,则$\cos B =$$\frac{3}{5}$.

答案： 11.$\frac{3}{5}$

12. 若$(\alpha + 30^{\circ})$是锐角,且$\sin (\alpha + 30^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$,则$\sin (\alpha + 45^{\circ})$的值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$.

答案： 12.$\frac{\sqrt{3}}{2}$

13. 【新情境】(2024·无锡)如图,平地上一幢建筑物$AB$与铁塔$CD$相距$x$m,在建筑物的顶部$A$观测塔顶$C$的仰角为$\alpha$,塔底$D$的俯角为$\beta$,则铁塔的高度为$(x\tan \ \alpha+x\tan \ \beta)$m.(用含$x$,$\alpha$,$\beta$的代数式表示)

答案： 13.$(x\tan \ \alpha+x\tan \ \beta)$