《2025年大联考单元期末测试卷九年级数学全一册沪科版》

9. 已知反比例函数 $ y = \frac{3k - 2}{x} $ 的图象的两个分支分别在第一、三象限内,则 $ k $ 的取值范围是k＞\frac{2}{3}.

答案： $9.k＞\frac{2}{3}$

10. 已知某商品的进价为每件 40 元,现在的售价是每件 60 元,每星期可卖出 300 件.市场调查发现:每涨价 1 元,每星期要少卖出 10 件,则销售该商品每周可获得的最大利润是6250元.

答案： 10.6250

11. 如图,点 $ A,B,C $ 均在反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(k \neq 0,x ＞ 0) $ 的图象上,分别作 $ AD,BE,CF $ 垂直于 $ x $ 轴,垂足分别为点 $ D,E,F $.若点 $ D,E $ 是 $ OF $ 的三等分点,则图中阴影部分的面积为\frac{k}{6}(用含 $ k $ 的代数式表示).

答案： $11.\frac{k}{6}$

12. 如图,在平面直角坐标系中,$ O $ 为坐标原点,$ \triangle OAB $ 是等边三角形,且点 $ B $ 的坐标为 $ (4,0) $,点 $ A $ 在反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(k ＞ 0) $ 的图象上.
(1) $ k $ 的值为4\sqrt{3}.
(2) 把 $ \triangle OAB $ 向右平移 $ a $ 个单位,对应得到 $ \triangle O_1A_1B_1 $,当函数 $ y = \frac{k}{x} $ 的图象经过 $ O_1A_1 $ 的中点时,$ a $ 的值为3.

答案： $12.(1)4\sqrt{3} (2)3$

13. 【跨学科·物理】根据小孔成像的科学原理,当像距(小孔到像的距离)和物高(蜡烛火焰高度)都不变时,火焰的像高 $ y $ 是物距(小孔到蜡烛的距离) $ x $ 的反比例函数(单位:cm),当 $ x = 6 $ 时,$ y = 2 $.若火焰的像高为 3 cm,求小孔到蜡烛的距离.

答案： 13.解:由题意,可设$y=\frac{k}{x}(k≠0).$
∵当x=6时,y=2,
∴k=6×2=12,
∴$y=\frac{12}{x}.(4$分)
把y=3代入$y=\frac{12}{x},$得x=4,
∴小孔到蜡烛的距离为4cm.(6分)

14. 如图,一次函数 $ y = kx + b $ 的图象与反比例函数 $ y = \frac{a}{x} $ 的图象在第一象限交于点 $ A(4,3) $,与 $ y $ 轴的负半轴交于点 $ B $,且 $ OA = OB $.求函数 $ y = kx + b $ 和 $ y = \frac{a}{x} $ 的表达式.

答案： 14.解:把点A(4,3)代入函数$y=\frac{a}{x},$
得a=3×4=12,
∴$y=\frac{12}{x},$
∴$OA=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5.(3$分)
又
∵OA=OB,
∴OB=5,
∴点B的坐标为(0,-5).
把点B(0,-5),A(4,3)代入y=kx+b,
得$\begin{cases}b=-5,\\4k+b=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=2,\\b=-5,\end{cases}$
∴y=2x-5.(6分)