《2025年大联考单元期末测试卷九年级数学全一册沪科版》

19. 【核心素养·模型观念】如图1是共享单车的实物图,图2是共享单车的车架示意图,点$A$,$D$,$C$,$E$在同一条直线上,$CD = 35$cm,$DF = 24$cm,$AF = 30$cm,$FD \perp AE$于点$D$,座杆$CE = 15$cm,且$\angle EAB = 75^{\circ}$.
(1)求$AD$的长.
(2)求点$E$到$AB$的距离.(结果保留整数,参考数据:$\sin 75^{\circ} \approx 0.97$,$\cos 75^{\circ} \approx 0.26$,$\tan 75^{\circ} \approx 3.73$)

答案：
19.解:
(1)在Rt△ADF中,AF=30 cm,
DF=24 cm,
由勾股定理,
得$AD=\sqrt{AF^2-DF^2}=\sqrt{30^2-24^2}=18$ cm.(4分)
(2)过点E作EH⊥AB,垂足为点H.

$\because AE=AD+DC+CE=68$ cm,(7分)
$\therefore EH=AE· \sin 75°\approx68×0.97=65.96\approx66$ cm,
$\therefore$点E到AB的距离约是66 cm.(10分)

20. 如图,在$\triangle ABC$中,$AC = 4\sqrt{2}$,$BC = 6$,$\angle C$为锐角且$\tan C = 1$.
(1)求$\triangle ABC$的面积.
(2)求$AB$的值.
(3)求$\cos \angle ABC$的值.

答案：
20.解:
(1)如图,过点A作AD⊥BC,垂足为点D,(1分)

$\therefore \angle ADC=\angle ADB=90°$.
$\because \angle C$为锐角且$\tan C=1$,
$\therefore \angle C=45°$,
$\therefore \angle DAC=90°-\angle C=45°$,
$\therefore \angle DAC=\angle C=45°,\therefore AD=DC$.(3分)
在Rt△ACD中,$\because \sin C=\frac{AD}{AC},AC=4\sqrt{2}$,
$\therefore DC=AD=AC· \sin C=4\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=4$.
$\because BC=6$,
$\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC· AD=\frac{1}{2}×6×4=12$.(5分)
(2)$\because DC=AD=4,BC=6$,
$\therefore BD=BC-DC=6-4=2$.
在Rt△ABD中,$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$.(8分)
(3)在Rt△ABD中,$AB=2\sqrt{5},BD=2$,
$\therefore \cos\angle ABC=\frac{BD}{AB}=\frac{2}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$.(10分)