《2025年大联考单元期末测试卷九年级数学全一册沪科版》

21. (2024·安徽)如图, $ \odot O $ 是 $ \triangle ABC $ 的外接圆,点 $ D $ 是直径 $ AB $ 上一点, $ \angle ACD $ 的平分线交 $ AB $ 于点 $ E $,交 $ \odot O $ 于另一点 $ F $, $ FA = FE $.
(1) 求证: $ CD \perp AB $.
(2) 设 $ FM \perp AB $,垂足为点 $ M $,若 $ OM = OE = 1 $,求 $ AC $ 的长.

答案： 21.解:
(1)证明:
∵AB是直径,
∴∠ACB=∠ACF+∠FCB=90°.
∵CF平分∠ACD,
∴∠ACF=∠FCD.
∵FA=FE,
∴∠FAB=∠AEF.
∵∠FAB=∠FCB,∠AEF=∠CED,
∴∠FCB=∠CED,(4分)
∴∠FCD+∠CED=90°,
∴∠CDE=90°,
∴CD⊥AB.(6分)
(2)
∵OM=OE=1,
∴ME=2.
∵FA=FE,
∴AM=ME=2,
∴AO=OB=AM+MO=3,
∴AB=2AO=6,EB=2.(10分)
　由
(1),得∠FCB=∠CED,
∴CB=EB=2,
∴AC=$\sqrt{AB²−BC²}$=4√2.(12分)