《2025年大联考单元期末测试卷九年级数学全一册沪科版》

23. 如图,点$D$为锐角三角形$ABC$内一点,$\angle ADB = \angle ACB + 90°$,过点$B$作$BE \perp BD$,$BE = BD$,连接$EC$.
(1) 求$\angle CAD + \angle CBD$的度数.
(2) 若$AC · BD = AD · BC$,则:
① 求证:$\triangle ACD \sim \triangle BCE$;
② 求$\frac{AB · CD}{AC · BD}$的值.

答案： 23.解：
(1)如图，延长CD交AB于点F.(1分)
∵$\angle ADF = \angle CAD + \angle ACD$，
$\angle BDF = \angle CBD + \angle BCD$，
∴$\angle ADB = \angle ADF + \angle BDF = \angle CAD + \angle CBD + \angle ACB$.(3分)
∵$\angle ADB = \angle ACB + 90^{\circ}$，
∴$\angle CAD + \angle CBD = 90^{\circ}$.(4分)
(2)①证明：
∵$\angle CAD + \angle CBD = 90^{\circ}$，$\angle CBD + \angle CBE = 90^{\circ}$，
∴$\angle CAD = \angle CBE$.(6分)
∵$AC· BD = AD· BC$，$BD = BE$，
∴$\frac{AC}{AD}=\frac{BC}{BE}$，
∴$\triangle ACD \sim \triangle BCE$.(8分)
②如图，连接DE.
∵$BE \perp BD$，$BE = BD$，
∴$\triangle BDE$是等腰直角三角形，
∴$\frac{DE}{BD}=\sqrt{2}$.(10分)
∵$\triangle ACD \sim \triangle BCE$，
∴$\angle ACD = \angle BCE$，
∴$\angle ACB = \angle DCE$.(11分)
∵$\frac{AC}{BC}=\frac{CD}{CE}$，
∴$\triangle ACB \sim \triangle DCE$，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{CD}{DE}$，
∴$\frac{AB· CD}{AC· BD}=\frac{AB}{AC}·\frac{CD}{BD}=\frac{DE}{DC}·\frac{CD}{BD}=\frac{DE}{BD}=\sqrt{2}$.(14分)