《2025年大联考单元期末测试卷九年级数学全一册沪科版》

15. 若 $ y + 1 $ 与 $ x $ 成反比例，当 $ y = 1 $ 时，$ x = \frac { 1 } { 2 } $。
（1）求 $ y $ 关于 $ x $ 的函数表达式。
（2）当 $ x = 3 $ 时，求 $ y $ 的值。

答案： 15.解：
(1)
∵$y + 1$与$x$成反比例，
∴设$y + 1 = \frac{k}{x}$.(2分)
将$x = \frac{1}{2},y = 1$代入表达式，
得$1 + 1 = \frac{k}{\frac{1}{2}}$，
∴$k = 1$，
∴$y$关于$x$的函数表达式为$y = \frac{1}{x} - 1$.(5分)
(2)当$x = 3$时，$y = - \frac{2}{3}$.(8分)

16. 如图，在单位长度为 1 的 $ 8 × 11 $ 正方形网格图中，$ \triangle A B C $ 与 $ \triangle A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } $ 是位似图形，且点 $ A $ 的坐标为 $ ( - 1, 6 ) $，点 $ C _ { 1 } $ 的坐标为 $ ( 2, 3 ) $。
（1）将 $ \triangle A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } $ 向上平移 4 个单位，再向左平移 1 个单位得 $ \triangle A _ { 2 } B _ { 2 } C _ { 2 } $，作出 $ \triangle A _ { 2 } B _ { 2 } C _ { 2 } $。
（2）作出 $ \triangle A B C $ 与 $ \triangle A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } $ 的位似中心 $ P $，并写出点 $ P $ 的坐标。

答案：
16.解：
(1)如图，$\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$即为所求.(4分)

(2)连接$AA_{1},BB_{1},CC_{1}$，相交于点$P$，则点$P$为$\triangle ABC$与$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$的位似中心，
∴点$P$的坐标为$(1,2)$.(8分)

17. 如图，在 $ \triangle A B C $ 中，点 $ D $，$ E $ 分别是边 $ A C $，$ A B $ 上的点，连接 $ B D $，$ C E $，$ D E $，$ E C $ 和 $ B D $ 相交于点 $ O $，且 $ \angle A B C = \angle A D E $。
（1）求证：$ \triangle A B C \sim \triangle A D E $。
（2）若 $ \frac { A E } { A D } = \frac { 9 } { 10 } $，求 $ \frac { A C } { A B } $ 的值。

答案： 17.解：
(1)证明：
∵$\angle ABC = \angle ADE$，$\angle A = \angle A$，
∴$\triangle ABC \backsim \triangle ADE$.(4分)
(2)
∵$\triangle ABC \backsim \triangle ADE$，
∴$\frac{AC}{AE} = \frac{AB}{AD}$，
∴$\frac{AC}{AB} = \frac{AE}{AD}$。
∵$\frac{AE}{AD} = \frac{9}{10}$，
∴$\frac{AC}{AB} = \frac{9}{10}$.(8分)