《2025年大联考单元期末测试卷九年级数学全一册沪科版》

8. 如图,在矩形 $ OABC $ 中, $ OA = 4 $, $ AB = 2 $,以点 $ O $ 为圆心, $ OA $ 为半径作弧,且 $ \angle AOD = 60^{\circ} $,则阴影部分 的面积为 (A)

A.$ \frac{4}{3}\pi - \frac{4}{3}\sqrt{3} $
B.$ \frac{4}{3}\pi - \frac{2}{3}\sqrt{3} $
C.$ \frac{8}{3}\pi - \frac{4}{3}\sqrt{3} $
D.$ \frac{2}{3}\pi - \frac{2}{3}\sqrt{3} $

答案： 8.A

9. 已知正六边形的周长为 36,则这个正六边形的边心距是 $3\sqrt{3}$.

答案： 9.$3\sqrt{3}$

10. 为了增加绿化面积,某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖,更换后,图中阴 影部分为植草区域.设正八边形及其内部小正方形的边长都为 $ a $,则阴影部分的面积是 $2a^{2}$.

答案： 10.$2a^{2}$

11. 如图,将扇形 $ AOB $ 翻折,使点 $ A $ 与圆心 $ O $ 重合,展开后折痕所在直线 $ l $ 与 $ \overset{\frown}{AB} $ 交于点 $ C $.若 $ OA = 2 $, 则 $ \overset{\frown}{OC} $ 的长为 $\frac{2}{3}\pi$.

答案： 11.$\frac{2}{3}\pi$

12. 如图,在 $ \odot O $ 的内接四边形 $ ABCD $ 中, $ AB = AD $, $ \angle C = 120^{\circ} $,点 $ E $ 在 $ \overset{\frown}{AD} $ 上,连接 $ OD $, $ OE $, $ AE $, $ DE $. (1) $ \angle AED $ 的度数是 $120^{\circ}$. (2)当 $ \angle DOE = 90^{\circ} $ 时, $ AE $ 恰好为 $ \odot O $ 的内接正 $ n $ 边形的一边,则 $ n $ 的值是 12.

答案： 12.
(1)$120^{\circ}$
(2)12

13. 如图,点 $ A $, $ P $, $ B $, $ C $ 是 $ \odot O $ 上的四个点, $ \angle APC = \angle CPB = 60^{\circ} $.求证: $ \triangle ABC $ 是等边三角形.

答案： 13.证明：在$\odot O$中，$\because \angle BAC$与$\angle CPB$是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，$\angle ABC$与$\angle APC$是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，
$\therefore \angle BAC = \angle CPB$，$\angle ABC = \angle APC$。(2分)
又$\because \angle APC = \angle CPB = 60^{\circ}$，
$\therefore \angle ABC = \angle BAC = 60^{\circ}$，
$\therefore \angle ABC = \angle BAC = \angle ACB = 60^{\circ}$，
$\therefore \triangle ABC$为等边三角形。(6分)

14. 如图,正五边形 $ ABCDE $ 的外接圆为 $ \odot O $,点 $ P $ 是劣弧 $ DE $ 上一点,连接 $ AC $, $ AP $, $ CP $,求 $ \angle ACP + \angle CAP $ 的度数.

答案： 14.解：$\because$正五边形$ABCDE$的内角和为$180^{\circ} × (5 - 2)=540^{\circ}$，
$\therefore \angle B = 540^{\circ} ÷ 5 = 108^{\circ}$。(3分)
$\because$四边形$ABCP$是圆的内接四边形，
$\therefore \angle P = 180^{\circ} - 108^{\circ} = 72^{\circ}$，
在$\triangle ACP$中，$\angle ACP + \angle CAP = 180^{\circ} - 72^{\circ} = 108^{\circ}$。(6分)