《2025年大联考单元期末测试卷九年级数学全一册沪科版》

18. 如图, $ \triangle ABC $ 内接于 $ \odot O $,且 $ AB = AC $, $ BD $ 是 $ \odot O $ 的直径, $ AD $ 与 $ BC $ 交于点 $ E $,点 $ F $ 在 $ DA $ 的延长线 上,且 $ AF = AE $. (1)试判断 $ BF $ 与 $ \odot O $ 的位置关系,并说明理由. (2)若 $ BF = 6 $, $ AE = 3 $,求阴影部分的面积.

答案：
18.解：
(1)$BF$与$\odot O$相切。理由如下：(1分)
$\because BD$是$\odot O$的直径，$\therefore \angle BAD = 90^{\circ}$，
$\therefore BA \perp AD$，
$\therefore \angle D + \angle DBA = 90^{\circ}$。(2分)
$\because AF = AE$，$\therefore BA$垂直平分$EF$，
$\therefore BE = BF$，$\therefore \angle CBA = \angle FBA$。
$\because AB = AC$，$\therefore \angle C = \angle CBA = \angle FBA$。(3分)
$\because \angle C = \angle D$，$\therefore \angle D = \angle FBA$。
$\because \angle D + \angle DBA = 90^{\circ}$，$\therefore \angle FBA + \angle DBA = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle OBF = 90^{\circ}$，$\therefore OB \perp BF$。(4分)
又$\because OB$是$\odot O$的半径，
$\therefore BF$是$\odot O$的切线，即$BF$与$\odot O$相切。(5分)
(2)如图，连接$OA$，过点$O$作$OH \perp AB$。

由
(1)知，$BE = BF = 6$。
在$Rt \triangle BAE$中，$\sin \angle ABE = \frac{AE}{BE} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$，
$AB = \sqrt{BE^{2} - AE^{2}} = 3\sqrt{3}$，
$\therefore \angle ABE = 30^{\circ}$，$\therefore \angle D = \angle C = \angle EBA = 30^{\circ}$，
$\therefore \angle BOA = 60^{\circ}$。(6分)
$\because OA = OB$，$\therefore \triangle AOB$为等边三角形，
$\therefore OA = OB = AB = 3\sqrt{3}$，
$\therefore AH = \frac{1}{2}AB = \frac{3\sqrt{3}}{2}$，(7分)
$\therefore OH = \sqrt{OA^{2} - AH^{2}} = \frac{9}{2}$，(8分)
$\therefore$阴影部分的面积为$\pi × (3\sqrt{3})^{2} × \frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} - \frac{1}{2} × 3\sqrt{3} × \frac{9}{2} = \frac{9}{2}\pi - \frac{27\sqrt{3}}{4}$。(10分)