《2025年大联考单元期末测试卷九年级数学全一册沪科版》

15. 某校规划出一块矩形苗圃 $ ABCD $,苗圃的一面靠墙(墙最大可用长度为 12 m),另三边用木栏围成,中间也用垂直于墙的木栏隔开分成面积相等的两个区域,并在如图所示的两处各留 1 m 宽的门(门不用木栏),修建所用木栏总长 28 m. 设矩形苗圃 $ ABCD $ 的一边 $ CD = x \, m $.
(1) 矩形苗圃 $ ABCD $ 的另一边 $ BC = $ (30-3x) m (用含 $ x $ 的代数式表示).
(2) 当 $ x $ 为何值时,矩形苗圃 $ ABCD $ 的面积最大,最大面积为多少平方米?

答案： 15.解：
(1)(30-3x).(2分)
(2)设矩形苗圃ABCD的面积为$S m ^ {2}$，
则$S = x ( 3 0 - 3 x ) = - 3 x ^ {2} + 3 0 x = - 3 ( x - 5 ) ^ {2} + 7 5$,(5分)
∴x应满足$\begin{cases}30 - 3x \leq 12\\28 - 3x ＞ 0\end{cases}$，即$6 \leq x ＜ \frac {28}{3}$.(6分)
∵-3＜0，且$6 \leq x ＜ \frac {28}{3}$，
∴当x=6时，S有最大值，最大值为72.
答：当x=6时，矩形苗圃ABCD的面积最大，最
大面积为$72 m ^ {2}$.(8分)

16. 如图,直线 $ y = x + b $ 与坐标轴分别交于 $ B, C $ 两点,其中点 $ C $ 的坐标为 $ (0, -2) $,抛物线 $ y = -x^2 + mx $ 与直线 $ y = x + b $ 交于 $ A, B $ 两点.
(1) 求抛物线对应的函数表达式及点 $ A $ 坐标.
(2) 直接写出关于 $ x $ 的不等式 $ x^2 + x \geq mx - b $ 的解集.

答案： 16.解：
(1)
∵直线y=x+b经过点C(0,-2)，
∴0+b=-2,解得b=-2,
∴直线y=x-2.
令y=0,则x=2,
∴直线与x轴交点B的坐标为(2,0).(2分)
∵抛物线$y = - x ^ {2} + m x$经过点B(2,0)，
∴$- 2 ^ {2} + 2m = 0$，解得m=2，
∴抛物线对应的函数表达式为$y = - x ^ {2} + 2x$.
令$- x ^ {2} + 2x = x - 2$，解得$x _ {1} = - 1 , x _ {2} = 2$.
将x=-1带入y=x-2,得y=-3，
∴点A的坐标为(-1,-3).(5分)
(2)
∵$x ^ {2} + x \geq m x - b$，
∴$x + b \geq - x ^ {2} + m x$，
∴关于x的不等式$x + b \geq - x ^ {2} + m x$的解集可以
看作y=x+b在$y = - x ^ {2} + m x$的图象上方部分及
图象交点对应的自变量的取值范围，
∴结合图象可得$x \leq - 1$或$x \geq 2$.(8分)