《2025年大联考单元期末测试卷九年级数学全一册沪科版》

14. 教材变式·沪科九上P71T3如图,已知直线$l_1$,$l_2$,$l_3$分别截直线$l_4$于点$A$,$B$,$C$,截直线$l_5$于点$D$,$E$,$F$,且$l_1// l_2// l_3$.
(1) 若$AB = 3$,$BC = 6$,$DE = 4$,求$EF$的长.
(2) 若$DE:EF = 2:3$,$AC = 25$,求$AB$的长.

答案： 14.解：
(1)$\because l_1 // l_2 // l_3$，$\therefore \frac{AB}{BC} = \frac{DE}{EF}$
$\because AB = 3$，$BC = 6$，$DE = 4$，$\therefore \frac{3}{6} = \frac{4}{EF}$，
$\therefore EF = 8$。(3分)
(2)$\because l_1 // l_2 // l_3$，$\therefore \frac{AB}{BC} = \frac{DE}{EF} = \frac{2}{3}$，$\therefore BC = \frac{3}{2}AB$.
$\because AC = AB + BC = 25$，$\therefore AB = \frac{2}{5} × 25 = 10$。(6分)

15. 如图,装有某种液体的工业用桶中放置有一根搅拌棍.工人师傅为了解桶内所装液体的体积,先在搅拌棍所处桶孔位置做好标记点$A$,并取出;然后测得搅拌棍接触到液体部分$BD$为$1m$,搅拌棍$A$到底端$D$处的长度为$1.5m$,最后测量出桶的高$AE$为$1.2m$,圆桶内壁的底面直径为$1m$.已知桶内的液面与桶底面平行,其平面示意图如图2所示.请你根据以上数据,帮工人师傅计算出桶内所装液体的体积(结果保留$\pi$).

答案： 15.解：由题意，得$BC // DE$，
$\therefore \frac{BD}{AD} = \frac{CE}{AE}$，$\therefore \frac{1}{1.5} = \frac{CE}{1.2}$，解得$CE = 0.8$，(5分)
$\therefore$桶内所装液体的体积为$\pi (\frac{1}{2})^2 × 0.8 = \frac{1}{5} \pi (m^3)$.
答：桶内所装液体的体积为$\frac{1}{5} \pi m^3$。(8分)

16. 如图,已知线段$AB = 2$,点$P$是线段$AB$的黄金分割点$(AP ＞ BP)$.
(1) 求线段$AP$的长.
(2) 以$AB$为三角形的一边作$\triangle ABQ$,使得$BQ = AP$,连接$QP$.若$QP$平分$\angle AQB$,求$AQ$的长.

答案： 16.解：
(1)$\because$点$P$是线段$AB$的黄金分割点，$AP ＞ BP$，
$\therefore AP = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} × AB = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} × 2 = \sqrt{5} - 1$。(3分)
(2)$\because QP$平分$\angle AQB$，
$\therefore$点$P$到$AQ$，$BQ$的距离相等，
$\therefore \frac{S_{\triangle PAQ}}{S_{\triangle PBQ}} = \frac{AQ}{BQ} = \frac{AP}{BP}$。(5分)
又$\because AP = BQ = \sqrt{5} - 1$，$AB = 2$，
$\therefore PB = AB - AP = 2 - (\sqrt{5} - 1) = 3 - \sqrt{5}$，
$\therefore \frac{AQ}{3 - \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5} - 1}{3 - \sqrt{5}}$，
$\therefore AQ = \frac{(\sqrt{5} - 1)^2}{3 - \sqrt{5}} = 2$。(8分)