《2025年大联考单元期末测试卷九年级数学全一册沪科版》

22. 已知 $ \triangle A B C $ 和 $ \triangle A D E $ 有公共的顶点 $ A $，$ A B = A C $，$ A D = A E $，且 $ \angle B A C = \angle D A E $。$ A C $ 与 $ D E $ 相交于点 $ G $，连接 $ B E $，$ C D $。
（1）若点 $ B $，$ E $，$ D $ 在一条直线上，如图 1。求证：$ \angle B A C = \angle B D C $。
（2）如图 2，将 $ \triangle A D E $ 绕点 $ A $ 逆时针旋转一定的角度，$ D E $ 的延长线交 $ B C $ 于点 $ F $。
①求证：$ A E · C G = D G · C F $；
②若 $ \angle A E B = \angle B A C = 90 ^ { \circ } $，求 $ \frac { C F } { A B } $ 的值。

答案：
22.解：证明：
(1)
∵$\angle BAC = \angle DAE$，
∴$\angle BAC - \angle CAE = \angle DAE - \angle CAE$，
即$\angle BAE = \angle CAD$。
又$AB = AC$，$AE = AD$，
∴$\triangle ABE \cong \triangle ACD(SAS)$，
∴$\angle ABE = \angle ACD$.(2分)
在$\triangle ABG$和$\triangle CDG$中，$\angle ABG = \angle DCG$，$\angle AGB = \angle DGC$，
∴$\angle BAG = \angle CDG$，即$\angle BAC = \angle BDC$.(3分)
(2)①证明：
∵$\triangle ABC$和$\triangle DAE$都是等腰三角形，
∴$\angle ADG = \frac{180^{\circ} - \angle DAE}{2}$，$\angle FCG = \frac{180^{\circ} - \angle BAC}{2}$。
∵$\angle BAC = \angle DAE$，
∴$\angle ADG = \angle FCG$.(4分)
又$\angle AGD = \angle FGC$，
∴$\triangle ADG \backsim \triangle FCG$，(5分)
∴$\frac{AD}{CF} = \frac{DG}{CG}$，即$AD · CG = DG · CF$.(6分)
又$AD = AE$，
∴$AE · CG = DG · CF$.(7分)
②如图，连接$AF$。

由
(1)，得$\triangle ABE \cong \triangle ACD$，
∴$\angle ADC = \angle AEB = 90^{\circ}$.(8分)
由①，得$\triangle ADG \backsim \triangle FCG$，
∴$\angle DAG = \angle DFC$，$\frac{AG}{FG} = \frac{DG}{CG}$.(9分)
又$\angle AGF = \angle DGC$，
∴$\triangle AFG \backsim \triangle DCG$，(10分)
∴$\angle AFG = \angle DCG$，
∴$\angle AFG + \angle CFG = \angle DAG + \angle ACD = 180^{\circ} - \angle ADC = 90^{\circ}$，
即$\angle AFC = 90^{\circ}$.(11分)
又$\triangle ABC$是等腰直角三角形，
∴$CF = BF$，
∴$\frac{CF}{AB} = \frac{BF}{AB} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.(12分)